初中数学常见错误原因及对策的探究

    费晓波

    

    

    [摘? 要] 俗话说:“错误是真理的向导,是成功的阶梯. ”学习过程中出现错误是难免的现象,如何找到错误的原因,采取怎样的应对措施是值得每个教育者思考的问题. 文章就初中数学学习过程中常见的错误原因及应对措施,怎样科学纠正错误,如何将错误转化为促进学生进步与发展的资源展开分析.

    [关键词] 数学;错误;对策

    初中学生在数学学习过程中受原有知识结构和生活经验的影响,很容易出现思维定式或理解上的偏差,出现各式各样的错误. 教师若能针对错误采取一定的措施,科学地预防错误发生,及时纠正错误,化错误为促进学生成长的资源,就能帮助学生更好地理解数学知识,培养学生发现问题、解决问题的能力,从而产生较好的数学思想,更好地理解数学概念、定理等[1]■.

    ■ 常见错误形成原因及应对措施

    1. 原有认知结构导致错误形成

    学习是一个循序渐进的过程,初中阶段的学生已经有了一定的学习经验和知识结构作为基础,受时间和空间的影响,再次遇到相似的学习内容时,不少学生会被原有认知结构所干扰,导致新知构建的过程中出现各类错误.

    例1? “圆”的教学

    学生在小学阶段已经接触过圆的性质. 因此,不少学生认为所谓的圆就是圆的外周边及内部;圆及圆里面所有的点都在圆上面;半圆包含了一个封闭的曲线和直径等各种错误的认识.

    应对措施? 根据这种原有认知结构导致的错误认识,教师可有针对性地编拟一些题目,让学生从题目中发现概念的内涵,辨析定义的本质属性.

    2. 学生思维定式导致错误形成

    思维定式也称为惯性思维,由之前的经验形成的一种心理上的定向趋势,这种惯性思维可以帮助人们快速解决一些问题,但也会妨碍人们采取新的解决问题的方法. 思维定式对学生的感知、思维、记忆和情感等会起到正向或者反向的推动作用. 数学学习过程中常因思维定式导致学生的思维进入一些误区,导致学生思维的创造性和灵活性受到阻碍.

    例2? “一元二次方程”的教学

    问题:直角三角形ABC的两条边是方程x2-7x+12=0的解,请问斜边的长是多少?

    学生根据题意解方程,两根是3或4,不少学生受3、4、5为一组勾股数的惯性思维影响,快速解答斜边为5.

    应对措施? 这是典型的受定向思维所影响的常见错误. 因此,教师在课堂教学中要及时扩充并完善学生原有的知识经验,通过举一反三和变式训练等方法,引导学生进行分析和比较,自主发现知识点之间的联系,辨析易混淆的数学概念,强化正确的数学思维,突破惯性思维的约束,从而激发学生的兴趣,拓宽解题思路.

    3. 解题方法不当导致错误形成

    一题多解在初中数学题中屡见不鲜,但也有部分题目只能有一种解法. 学生在解题过程中常常会因为解题方法的使用不恰当,导致一些错误的产生.

    例3? “圆的对称性”教学

    问题:AB,CD是⊙O的两条弦,CD=8,∠AOB与∠COD互补(见图1),求弦AB的弦心距. 若将△COD绕着点O顺时针旋转,让OD和OB重合,很容易就会发现弦AB的弦心距是弦CD的一半.

    应对措施? 这种方式是这道题唯一的解题方法,学生若想不到这个解题办法,则无法解开这道题. 因此,教师在教学过程中要注重解题方法的指导与训练,渗透良好的解题思路,形成较好的数学思维.

    ■ 化被动为主动,将错误优化成

    教学资源

    任何事物都具有双面性,数学错誤也同样是一把双刃剑,利用好了就是丰富的一手教学资源,利用不好就是一堆令人唾弃的废品. 教师如何在教学过程中将这些错误变废为宝呢?可以从以下几方面出发:

    1. 利用错误引发学生的认知冲突

    学生常因对知识理解不够全面或其他原因导致一些错误. 教师如果将这些错误适当地延伸开来,引起学生认知的冲突,学生就能在这些认知冲突中对学习内容产生新的知识结构和兴趣.

    例4? “完全平方公式”的教学

    师:(a+b)2等于多少?

    生:(a+b)2=a2+b2.

    对于这个错误的解答,教师可先转移学生的注意力.

    师:5等于7吗?

    生:(觉得不可思议)5怎么能等于7呢.

    学生的注意力瞬间被转移过来,对这个知识点充满了兴趣.

    师:假设a=3、b=4,那(a+b)2的值是多少?

    生:(a+b)2=(3+4)2=49.

    师:那么a2+b2的值是多少呢?

    生:32+42=25.

    师:可见(a+b)2的值是49,也就是72;而a2+b2的值是25,也就是52,因此(a+b)2=a2+b2这个答案对吗?

    生:错误的.

    师:那这道题的正确答案应该是什么呢?

    学生在教师的引导下对这道题产生了认知冲突,同时又充满了好奇与兴趣,学习思维也得到相应的发展.

    2. 利用错误引发学生的创新思维

    错误发生的过程其实也是一种新的尝试过程,教师可引导学生发现错误中蕴藏的创新元素,及时给予引导与点拨,让学生自主地突破错误的思维障碍,产生创新意识,体验创新思维带来的价值和快乐[2]■. 一些问题条件发生了改变,结论亦会随之变化. 教师可根据这类题的错误发生,引发学生形成创新意识,形成创新思维.

    例5? “平面直角坐标系”的教学

    问题:平面直角坐标系内有点A(1,1),请在x轴上找到点P,使△AOP为等腰三角形,请求P点的标.

    错解:找出满足此题条件的P点坐标是(1,0)与(2,0)(见图2).

    ■

    分析:根据题意,等腰三角形AOP可从以下三个角度考虑:

    (1)如果AO=AP,则点P是以AO为半径,以A点为圆心的圆和x轴的交点,此时P点坐标是(2,0);

    (2)如果OP=AP,则点P是线段AO的中垂线和x轴的交点,此时P点坐标是(1,0);

    (3)如果AO=PO,则点P是以AO为半径,以O点为圆心的圆和x轴的交点,此时P点坐标是(■,0)者(-■,0).

    解题讲究的是周密、严谨,错误并不可怕,只要在错误中发现问题,勇敢地表达自己的观点,再根据错误用各种方法去修正它,修正错误的过程就是训练思维能力的过程,良好的思维能引导学生全方位地审视问题,找出问题和结论的内在关系,深化认识,从而发展学生的创造性思维.

    3. 利用错误引发学生的反思

    用错题引发反思是指在错误或挫折中得到一定的经验或教训,重新认识错题,养成良好的反思习惯,提高学生的数学核心素养. 新课标也明确要求学生在错误中逐步形成反思意识,通过订正错题、反思错误而纠正错误[3]■. 由此逐渐加深学生对数学知识与技能的掌握情况,提高学生的反思能力.

    例6? “一元二次方程根与系数的关系”教学

    问题:已知方程x2+2(m+2)x+m2-5=0有两个实数根,这两个根的积比它们的平方和小16,求m值.

    根据题意,设两个根为x■,x■,写出x■+x■=-2(m+2),x■·x■=m2-5,两个根的积比它们的平方和小16,可得(x■+ x■)-x■·x■ = 16,通过化简和整理得:m■=-1,m■=-15. 到此,学生就认为答题完美结束了,若将解题答案代入方程进行检验,会发现存在一些问题,究竟是哪个环节出了问题?今后遇到类似的问题应该怎么做呢?

    由此可见,要避免同类错误的再次发生,反思是最好的途径. 教师应在学生错误发生后给予恰当引导,让解题过程变得更为严谨、科学. 让学生反思解题方法、过程、思路以及错误形成的具体原因,通过反思避免同样错误的再次发生,从而更加深刻地理解数学知识与技能,形成良好的反思能力.

    每个学生受身心发展和生活经验的影响,对数学知识的掌握深度和广度都有一定的区别,解题习惯和思维模式也不一样,出现的错误自然是花样百出的. 这就给教师的教学提出了更高的要求,怎样帮助学生在错误中成长成了每个教师的责任. 因此,教师应将学生的错误类型进行整理、分类,通过比较和分析找出一些有代表性的错题,从学生的錯题出发优化教学资源,在错题中引发学生的认知冲突,产生创新思维,培养反思能力,从而有效地提高数学核心素养.

    参考文献:

    [1]张诚. 有一种教学封闭叫“居高临下”[J]. 中学数学教学参考,2016(14).

    [2]蔡卫兵,朱贤军. 把握试题精髓? 感悟教学价值[J]. 中学数学,2016(24).

    [3]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准(2011年版)[S]. 北京:北京师范大学出版社,2012.