浅谈分类思想在初中数学教学中的渗透
邬吉利
[摘 ?要] 分类思想是初中数学知识生成的过程中需要运用到的数学思想方法，分类思想的具体体现就是分类讨论方法. 分类思想渗透的基本思路是教师通过问题的提出，让学生有了一个体验分类的过程. 分类思想从方法层面来看，属于数学思想方法一类;而从学生数学学习的角度来看，分类思想则是指向学生的思维发展的. 只有瞄准学生的思维需要，瞄准学生思维成长的方法，分类思想方法才能在渗透的过程中体现其价值，彰显其意义.
[关键词] 初中数学;分类思想;数学教学;渗透
随着课程改革的深入发展，随着核心素养的有序推进，初中数学教学中重视思想方法的教学，已经成为当前数学教师的基本共识. 而且对于数学思想方法的教学，目前也基本上都认同一个观点，那就是思想方法是重要的，思想方法具有一定的严格定义与实现途径，但是思想方法本身并不适宜作为一个直接教学的内容，尤其是面向初中学生，思想方法更应当是一渗透的教学方式，即让学生在知识学习与运用的过程中，通过对数学思想方法的体验性运用，去实现对数学思想方法的认识与内化. 这种渗透的教学思路，是当前初中数学思想方法教学的主流思路. 笔者近来在数学教学中，对分类思想进行了相关的研究，取得了比较丰富的认识.
所谓数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想. 分类思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法. 分类思想在具体的数学知识教学中，常常是与数学分类讨论的方法结合在一起的，而所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法. 可以简略地讲，分类思想是初中数学知识生成的过程中需要運用到的数学思想方法，分类思想的具体体现就是以分类讨论方法为形式的体现. 下面从三个方面阐述笔者的相关认识.
分类思想促进学生更好地分析并解决问题
初中数学教学可以分成新知识学习与运用两个方面，无论是新的概念、规律的学习，还是其运用，都有一个共同的环节，那就是问题解决. 数学概念建立的过程中有问题解决，数学知识运用的过程中也有问题解决，在问题解决的过程中，学生要会用观察、比较和分析的方法思考问题，会用有条理的语言来阐述自己的思想，而这就需要学生运用分类的思维方法来思考问题.
例如，在“有理数”的学习中，有一类问题非常基础，也具有一定的典型意义，这就是比较有理数的大小的问题，初一新生对此问题常常比较苦恼，因为总有一些题目会出错. 很多情况下，教师教给学生的常常是一些比较技巧，目的是为了让学生正确比较出有理数的大小，以为考试时拿分，这样的策略不足以培养学生对数学思想方法的认识.
实际上，此处可以采用分类思想来帮学生解决问题. 笔者在教学中引导学生思考这样的几个问题：在有理数的大小比较中，你遇到过哪些情况？能否进行一下分类？（提出这个问题的时候，笔者下发了学生近期所做过的比较有理数大小的题目）在这个问题的驱动之下，在学生对自己所做过的相关题目的回顾与分析中，可以通过分类得出这样一些结果：一是正数与负数的比较（这个最简单，学生最容易想到）;二是正数、负数跟0的比较;三是正数跟正数的比较;四是负数跟负数的比较.
随后进一步提出的问题是：这四类比较中，哪些你是有把握的？哪些你是感觉有困难的？学生通过讨论交流发现：第一、二、三类其实都是比较容易解决的，唯独第四类负数与负数的比较，存在着一些困难，而究其原因是学生对负数原本比较陌生，缺少对负数的直觉认识，现在让他比较负数大小，更加会捉襟见肘. 通过分类发现了难点所在，下面的关键就是想办法解决问题，考虑到学生的认知规律，笔者让学生将负数与负数比较大小，与正数与正数比较大小进行对比，譬如a，b均为正数，且a>b，那当a，b取相反数时，结果是什么呢？
以上就是一个典型的通过分类去分析问题、解决问题的案例，而这个过程中的分类并没有以贴标签的形式出现，只是教师通过问题的提出，让学生有了一个体验分类的过程，这正是分类思想渗透的基本思路.
在初中数学习题解答过程中渗透分类思想
众所周知，“分类”最初是源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中. 但同时不可否认的是，除了新的知识学习之外，初中学生最主要的任务，就是做题目. 笔者以为，在当前评价考核机制的背景之下，习题解答并不宜“妖魔化”，应当视其为培养学生数学认识、生成数学学科核心素养的重要机会. 习题解答不同于一般的问题解决，数学习题往往没有太多的生活元素，更多的是通过已知条件的呈现并让学生在解答未知的过程中，去运用自己的逻辑推理能力实现解题. 如果在习题教学中能够引导学生运用分类思想，那也能起到很好的渗透作用.
例如，在函数知识的教学中，有这样的一类习题比较典型：已知函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m为实数），如果函数与平面直角坐标系的x轴只有一个交点，那m的值是多少？
教学经验表明，很多学生在这道习题的解答中，往往第一反应就是认为这是一个二次函数——对应着一元二次方程，当其与x轴只有一个交点时，说明该一元二次方程的Δ值为0，然后通过Δ=b2-4ac去求出m的值. 而等到教师强调这一思路的缺陷时，相当一部分学生呈现出恍然大悟的样子：是自己粗心，没有想到这个函数有可能不是二次函数.
这真的是粗心吗？不是！本质上这是学生的思维认知水平偏低，不知道习题的复杂性，而说得更加彻底一点，就是学生对于一元二次方程的最基本要求，即二次项系数不为0恰恰是忽视的. 那么怎样增强学生的这个印象呢？——实际上这也是学生自己提出的问题：怎样才能让自己在关键时刻知道要注意一元二次方程的二次项系数不为0呢？在笔者看来，最好的方法就是“分类”，让学生结合上面的习题，首先就分二次项系数等于0和不等于0两种情况，然后得出m的值为“等于1”和“不等于1”两种情况.
应当说，在学生初次接触这类题目的时候，由于原先大脑里只有一元二次方程的认识，因此一旦开始跟学生进行分类讨论，实际上就是打破了学生原先的认知平衡，学生自然会带着较为强烈的兴趣去探究，而探究的基础实际上就是分类讨论的两种情形，探究的过程则是分类之后运用一元二次方程与一次方程的知识分别去进行判断. 在这样的过程中，分类讨论的方法驱动着学生思考，学生在对分类思想的体悟中，不仅丰富了知识层面的认识，更加丰富了方法层面的认识. 这样的一个教学过程中，教师没有刻意地跟学生强调“分类思想”，但学生却实实在在地体验到了分类思想方法的运用，因此这是一个十分典型且有效的分类思想方法渗透的过程，对于学生掌握相关知识、提升数学学习能力是非常有帮助的.
分类思想的有效渗透指向学生的思维发展
分类思想从方法层面来看，属于数学思想方法一类;而从学生数学学习的角度来看，分类思想则是指向学生的思维发展的. 尽管强调分类思想在学生数学学习的过程中应当秉承渗透思路，但初中学生已经具有了方法认识的意识，他们在数学学习中也注意要掌握一定的方法，因此某种程度上讲，让学生认识到在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究，或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究，也是非常必要的.
例如，同样在函数知识的教学中，有一类证明题非常“另类”，而其中的方法因素又非常丰富，让学生解决这类题目时，通过分类思想的运用，可以拓宽学生的知识面，丰富学生的解题思路. 如函数y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，证明：y的值恒大于0. 不少学生在解决此问题时常常感觉无法下手，这也就是在思维上表现出了困难，实际上若采用分类的思路去解决问题，让学生从x≤0，0<x1四个角度进行分析，则可以轻易地证明. 这种分类看起来是方法层面的，实际上就是指向学生的思维的，学生通过分类会发现，原来解决此类问题还可以通过分类的方法得以实现，这不仅拓宽了学生思维的广度，还挖掘了学生思维的深度，对于学生的数学学习来说有着十分重要的促进作用.
总之，在初中数学教学中，分類思想方法的渗透关键在于指向学生的思维，只有瞄准学生的思维需要，瞄准学生思维成长的方法，分类思想方法才能在渗透的过程中体现其价值，彰显其意义.
