固定沧枘岜呓缍ǔぶ嵯蛞贫绳振动的行波边界反射叠加法
陈恩伟 张凯 王军
摘要： 可简化为轴向移动绳系统的各类工程设备，诸如绳系卫星缆绳、缆车索道、物料输送带等，因其横向振动问题而备受关注，当前针对轴向移动绳的研究，大多集中在典型边界条件的基础上，而对于非典型边界条件的研究十分缺乏。基于经典的行波反射理论，以非典型边界的轴向移动绳为例，研究一种行波边界反射叠加法，通过左右行波在移动绳两侧边界的反射，结合其初始条件以及两侧边界连续性条件获得反射波的表达式，进而分三个阶段推导反射过程，最终通过叠加得出移动绳横向振动的解析表达式。以一端固定，另一端带有阻尼的定长度轴向移动绳为算例，结合中心差分法，通过MATLAB仿真，验证了行波边界反射叠加法的正确性和优越性。
关键词： 轴向绳移系统； 非典型边界； 横向振动； 边界反射
中图分类号： TB123； O327； TH132.3+3 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2018）05-0870-05
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.017
引 言
传送带、升降机电梯、带锯、绳系卫星等工程设备广泛应用于生产、生活之中，但是这些工程设备的振動问题所导致的安全隐患极大地限制了此类工程设备的应用推广。上述工程设备的振动问题的研究，可归结为轴向移动绳系模型的研究。国内外学者在轴向移动绳横向振动建模、计算、边界反射方面做了大量的研究工作。Wickert和Mote[1]利用复杂的模态分析和格林函数对任意激励和初始条件的轴向移动系统的振动响应的表达式进行了精确的推导；Ram和Caldwell[2]用达朗贝尔法和镜像法研究了一种绳移系统的自由振动，绳子受到张力在两个支撑之间被拉伸，而两端的支撑以相同大小的速度相向运动。Liu和Rincon[3]研究了端点固定在移动边界上的轴向移动绳，系统模型考虑了绳子振动时绳长的变化和弹性绳的非线性行为，并用有限差分近似法求解张力时变的振动方程；Chen和Ferguson[4]利用拉格朗日方程建立轴向移动绳模型，计算在模态坐标下移动绳的横向振动能量，发现绳的能量变化率随着绳长的变化而非线性变化，且随着一阶固有频率的变化而线性变化。这些文献中对于轴向移动绳的研究，边界条件中不包含质量、弹簧、阻尼等非典型边界条件，仅对固定、自由等简单的典型边界条件下的轴向绳系统进行研究。
最近，Akkaya 和 van Horssen[5]基于D′Alembert公式，获得了具有典型与非典型边界条件下的半无限长移动绳系的横向振动的精确解。此外，作者还分析了基于不同边界条件的反射与阻尼特性。Tang和Ying[6]基于波动理论分析了轴向移动绳的动力特性，用传递函数公式和波动的理念得到了轴向绳移系统的自由振动响应。Gaiko和van Horssen[7]研究了几种不同类型的边界半无限长移动绳系统的边界反射。以上轴向绳系模型的研究虽涉及非典型边界条件，但仅在半无限边界条件下，所以对于完整非典型边界条件下的轴向移动绳的研究依旧具有重大理论意义。
本文所研究的“行波边界反射叠加法”基于经典的“行波反射法”理论[8]，由于研究对象存在轴向移动速度，使得其左右行波、反射波，行波运行周期均与经典的“行波反射法”有不同的形式。行波边界反射叠加法利用初始左、右行波以及其多次在两侧边界的反射波的公式进行叠加得到绳系运动的解析解。基于一端固定、另一端带有阻尼的非典型边界条件的轴向移动弹性绳系统为模型，利用Hamilton′s原理获得运动方程。同时，为了获得边界解的连续性，引入复杂的边界连续性条件，考虑绳波在一个周期内进行了多次边界反射历程，根据时间的先后将此历程分为三个阶段，并针对每一个阶段分别求解。最后根据Lee和Mote Jr[9]所做的工作，结合本文的工作进行相互验证，从而证明了本文理论推导的准确性。本文方法只给出一种非典型边界条件的响应推导，但方法原理对于其他非典型边界条件同样适用。
1 运动方程及边界反射推导
一端带有黏性阻尼器的轴向移动弹性绳模型如图1所示，其中绳密度为ρ，绳子张力为T，轴向绳移速度为v，绳长为l0，右边界处阻尼系数为η，u（x，t）为轴向移动绳在坐标x处与时间t时的横向位移。
摘要： 可简化为轴向移动绳系统的各类工程设备，诸如绳系卫星缆绳、缆车索道、物料输送带等，因其横向振动问题而备受关注，当前针对轴向移动绳的研究，大多集中在典型边界条件的基础上，而对于非典型边界条件的研究十分缺乏。基于经典的行波反射理论，以非典型边界的轴向移动绳为例，研究一种行波边界反射叠加法，通过左右行波在移动绳两侧边界的反射，结合其初始条件以及两侧边界连续性条件获得反射波的表达式，进而分三个阶段推导反射过程，最终通过叠加得出移动绳横向振动的解析表达式。以一端固定，另一端带有阻尼的定长度轴向移动绳为算例，结合中心差分法，通过MATLAB仿真，验证了行波边界反射叠加法的正确性和优越性。
关键词： 轴向绳移系统； 非典型边界； 横向振动； 边界反射
中图分类号： TB123； O327； TH132.3+3 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2018）05-0870-05
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.017
引 言
传送带、升降机电梯、带锯、绳系卫星等工程设备广泛应用于生产、生活之中，但是这些工程设备的振動问题所导致的安全隐患极大地限制了此类工程设备的应用推广。上述工程设备的振动问题的研究，可归结为轴向移动绳系模型的研究。国内外学者在轴向移动绳横向振动建模、计算、边界反射方面做了大量的研究工作。Wickert和Mote[1]利用复杂的模态分析和格林函数对任意激励和初始条件的轴向移动系统的振动响应的表达式进行了精确的推导；Ram和Caldwell[2]用达朗贝尔法和镜像法研究了一种绳移系统的自由振动，绳子受到张力在两个支撑之间被拉伸，而两端的支撑以相同大小的速度相向运动。Liu和Rincon[3]研究了端点固定在移动边界上的轴向移动绳，系统模型考虑了绳子振动时绳长的变化和弹性绳的非线性行为，并用有限差分近似法求解张力时变的振动方程；Chen和Ferguson[4]利用拉格朗日方程建立轴向移动绳模型，计算在模态坐标下移动绳的横向振动能量，发现绳的能量变化率随着绳长的变化而非线性变化，且随着一阶固有频率的变化而线性变化。这些文献中对于轴向移动绳的研究，边界条件中不包含质量、弹簧、阻尼等非典型边界条件，仅对固定、自由等简单的典型边界条件下的轴向绳系统进行研究。
最近，Akkaya 和 van Horssen[5]基于D′Alembert公式，获得了具有典型与非典型边界条件下的半无限长移动绳系的横向振动的精确解。此外，作者还分析了基于不同边界条件的反射与阻尼特性。Tang和Ying[6]基于波动理论分析了轴向移动绳的动力特性，用传递函数公式和波动的理念得到了轴向绳移系统的自由振动响应。Gaiko和van Horssen[7]研究了几种不同类型的边界半无限长移动绳系统的边界反射。以上轴向绳系模型的研究虽涉及非典型边界条件，但仅在半无限边界条件下，所以对于完整非典型边界条件下的轴向移动绳的研究依旧具有重大理论意义。
本文所研究的“行波边界反射叠加法”基于经典的“行波反射法”理论[8]，由于研究对象存在轴向移动速度，使得其左右行波、反射波，行波运行周期均与经典的“行波反射法”有不同的形式。行波边界反射叠加法利用初始左、右行波以及其多次在两侧边界的反射波的公式进行叠加得到绳系运动的解析解。基于一端固定、另一端带有阻尼的非典型边界条件的轴向移动弹性绳系统为模型，利用Hamilton′s原理获得运动方程。同时，为了获得边界解的连续性，引入复杂的边界连续性条件，考虑绳波在一个周期内进行了多次边界反射历程，根据时间的先后将此历程分为三个阶段，并针对每一个阶段分别求解。最后根据Lee和Mote Jr[9]所做的工作，结合本文的工作进行相互验证，从而证明了本文理论推导的准确性。本文方法只给出一种非典型边界条件的响应推导，但方法原理对于其他非典型边界条件同样适用。
1 运动方程及边界反射推导
一端带有黏性阻尼器的轴向移动弹性绳模型如图1所示，其中绳密度为ρ，绳子张力为T，轴向绳移速度为v，绳长为l0，右边界处阻尼系数为η，u（x，t）为轴向移动绳在坐标x处与时间t时的横向位移。
