浅谈构造法在高中数学解题中的应用

    徐彩云

    摘要：在高中教育实践中，数学一直是教学的重点和难点。因为数学知识具有较强的抽象性，学生在理解的时候会存在一定的困难，尤其是在解决数学题的时候，学生往往会感觉无从下手。构造法是一种常见的解题方式，如果能将构造法应用到实际的解题过程中，将大大提高学生的解题效率，同时对于深化数学知识的理解也具有明显的作用。

    关键词：高中数学;构造法;教学应用

    中图分类号：G633.6? ?文献标识码：A? ?文章编号：1992-7711（2020）01-0037

    把“未知”转化成“已知”就是解题的过程，而其中转化是解题的关键。构造法是重要的转化手段之一，在数学解题方面发挥着巨大的作用。近年来的高考和奥数竞赛试题，有许多题目都要通过构造法去解决，这就对高中生的解题能力有了新的要求，教师需要教学解题的构造法，通过大量的练习题，去掌握构造法的基本思想以及灵活应用。通过在高中数学解题中应用构造法，有效提高学生的问题解答效率。

    一、形成构造理念

    构造法应用的前提是了解和掌握构造法的含义。构造是为了完成目标，采取系列措施，完成相应流程和步骤达到目的。因此，教师在讲授构造法时，必须以通俗易懂的方式让学生了解，即通过学生自己理解的合理的方式提高解答题目的效率，从而锻炼学生的逻辑思维能力。通过构造法，可以将难题简单化，将他们构造成为日常解答的简单习题，高效完成并高效掌握。方程，主要包括了二元二次方程、线性方程、曲线方程等一系列的内容，涉及知识面广，而且难度高。方程式与函数、代数式、不等式等内容息息相关，因此解答疑难方程式，必须有效使用构造法，根据方程式的性质、理论，进一步的记忆理解数学题型，反复斟酌，从而转化更多的题目，解决更多的题型，通过反复思考的过程，将生活中相关的数学知识转移到高中数学的学习中，促使学生养成良好的学习习惯。

    二、依据等量关系构造方程式

    学生在解答相对复杂的数学题目时，自变量与因变量的理论概念是学生一定会用到的，所以学生在解答过程中首先要设计解题思路的整体框架。不论解答的问题是二元二次元方程还是一元二次方程，都以解决问题的未知量为目的。因此，当学生在解答关于定量关系的题目时，可以依据等量关系构造方程式解答题目。比如，学生学习“一元二次方程”知识的内容时，题目的内容为：“超市内一瓶酒的进价为50元，如果超市依据50元的单价卖出400瓶酒，每瓶酒涨价1元，酒水的销售量就会减少10瓶，问酒的价格为多少利润最大？”当学生遇到这种类型的题目时，如果只以传统的解题思维方式很难解答。所以，商品需要借助变量，在解题时将利润设置为W，增长的金额为x元，根据题目描述可以得到以下方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10）=x（400-10x）=-10x2+400x，然后对方程的对称轴求解，进而得出利润最大值时的取值x。

    三、结合高考例题深化构造法的应用

    高考题的重要特征就是“题型来源于数学教材，但是又不同于数学教材”，在日常的数学教学中教师要多多引用高考例题，帮助学生找到合适的解题方法，深化学生的数学思维。在等差、等比课堂教学过程中，教师要善于结合高考例题来深化构造法的应用，让学生能够灵活应用所学知识，做到由此及彼、学以致用，构建完整的数学知识体系。存在x1，并且xn+1=qxn+m（q与m属于常数）形式的数列，教师可以引导学生通过构造等比数列来求解决此类型问题，也就是xn+1+y=q（xn+y），其中y属于常数，（xn+y）属于学生较为熟悉的等比数列。例如，假如数列an符合a1=1，并且an+1=an+1，求得an。学生在解题过程中，可以让an+1+x=（an+x），其中x属于常数，那么an+1+x=an+x-x=an-x，结合an+1=an+1可以得出x=-2，从而推导出数列an-2的首项是a1-2=-1，结果便一目了然。在数学教学中，教师不仅要让学生充分理解数学公式、定理，还要帮助学生灵活应用这些公式、定理，培养学生的数学思维能力，这样才能够取得优异的高考成绩。

    四、将构造法贯穿到高中数学解题的全过程

    在高中数学教学实践中，教师一直都沿用既定的教学形式，整个课堂教学过程显得较为机械，并且按部就班，每个教学步骤都是按照预设的流程开展，使整个课堂教学显得缺乏生机与活力，学生学习兴趣也会受到较大的影响。并且，学生在学习数学知识的时候也一直处于从属地位，在面临巨大学习压力的前提下，这些学生都是一味被动地接受知识，教师讲到哪里，学生就记到哪里，整个课堂学习过程中学生的自主性受到抑制。为了有效解决这一问题，提高构造法应用的实效性，教师应该首先转变自身的教育角色，与学生建立平等的师生关系，强化与学生之间的交流和互动，最终实现以学定教、共同发展的教学目标。

    教师应该积极优化教学模式，改变传统的知识传递方式，不断强化学生自主学习和探究学习意识，通过对构造法基本特点和适用范围的讲解，使学生真正领会构造法的基本含义和适用条件，进而在实际的解题过程中得到较好的应用。比如，已知条件为a、b、c均为实数，其中a-6=-b，c2+9=ab，求证a=b。由已知条件能够得出a+b=6与ab=c2+9，进而通过解方程式可以得出a、b值，為了进一步检验a、b值是否是方程的根，则需要使用韦达定理来构造检验方程式，为t2-6t+（c2+9）=0，经过解方程式，最终可以得出c2≤0，加之题目给出的c为实数，因此c2≥0，进而可以得出a=b。

    综上所述，高中阶段的数学题目的解答难度逐渐加大，学生在传统的解题思维模式下，很难高效准确地计算出正确答案。因此，教师应当指导学生掌握新的解题思路，让学生懂得从多个角度去思考问题，通过思维能力的创新有效降低解题的难度，在解题中依据已知条件与结论特性，构造数学结构形式，利用已知条件构造相关函数，根据等量关系构造方程式的应用来解决抽象问题，使各知识体系相互穿插借鉴，从而有效提高问题的解答效率。

    参考文献：

    [1] 冯旭明.浅谈构造法在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2017（7）.

    [2] 罗 湛.高中数学解题中构造法的应用[J].求知导刊，2017（35）.

    （作者单位：河南省项城市第二高级中学? ?466200）