分数阶导数系统响应功率谱密度的小波—Galerkin方法
孔凡 王恒 徐军
摘要： 利用小波的时间-频率联合分辨率，提出了一种在完全非平稳随机激励下，计算分数阶阻尼线性系统响应功率谱密度的方法。方法的思路在于选用广义谐和小波，并利用小波-Galerkin近似，将具有分数阶导数的运动微分方程转化为一组以响应小波变换为未知量的代数方程，解之并求得响应小波变换后，结合随机过程功率谱密度的小波变换表达得到激励与响应功率谱密度之间的关系。为此，在频域中推导了小波-Galerkin方法必需的小波整数阶与分数阶联系系数。数值算例表明：对具有不同分数阶导数的系统，所建议的方法具有较好的适用性。
关键词： 随机振动； 功率谱密度； 广义谐和小波； 联系系数； 分数阶导数
中图分类号： O324文献标志码：A文章编号1004-4523（2018）04-0671-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.015
引言
19世纪开始尝试将整数阶导数推广到任意阶导数[1]，到目前，分数阶导数作为任意阶导数的代名词，已在流变学、电化学、扩散理论及其他科学与工程领域取得了广泛应用[2]。分数阶导数在描述黏弹性材料本构关系方面的工作始于文献[3]；随后，由于黏弹性材料在土木结构被动控制装置的应用，人们利用分数阶导数模型对结构的隔震与减震控制进行了研究[4-8]。
在具有分数阶导数的线性系统动力响应方面，确定性动力激励下的系统响应可由Laplace变换[9-10]、Fourier变换[11]、数值[12-13]以及特征向量展开[14-15]等方法计算得到；随机动力激励作用下，可由频域[16-17]或时域[18-20]两类方法计算得到系统随机动力响应的统计特征描述。分数阶导数非线性系统随机动力响应研究较少：Huang和Jin[21]采用随机平均法对具有非线性恢复力的单自由度系统在白噪声作用下的情况进行了考察，进一步的研究可见文献[22]；Spanos和Evangelatos[23]则采用统计线性化方法考察了白噪声作用下分数阶Duffing振子的响应二阶矩。可见，对阻尼分数阶系统的随机振动研究仅局限于平稳随机激励的情况，而地震工程研究中存在着广泛的时域非平稳、甚至时-频完全非平稳随机激励的现象，因此，亟需发展在完全非平稳随机激励下分数阶导数系统随机动力响应的计算方法。
小波分析的时间-频率联合分辨性为描述地震动的完全非平稳性[24]提供了可能。基于此，人们利用小波分析对完全非平稳激励下线性、非线性和滞回整数阶导数系统的随机动力响应进行了研究[25-28]。注意到，在此理论框架内分数阶系统却涉足尚少，最近唯一的工作可见文献[29]。对整数阶动力系统，文献[25-27]方法克服了Spanos和Kougioumtzoglou提出的局部平稳法[28]的局限性[27]，适用于刚度与阻尼较小的系统。因此，本文试图将文献[25-27]中的方法推广到具有分数阶阻尼的线性系统；其中，求解广义谐和小波函数的分数阶联系系数为难点所在。
本文的组织结构如下：基于广义谐和小波在频域内的特殊性，首先推导了整数阶与分数阶联系系数；其次，利用小波-Galerkin方法将含分数阶阻尼项的运动微分方程转化为一组以响应小波变换为未知量的代数方程；求解得到响应小波变换后，可通过小波逆变换得到响应时程，或可结合非平稳随机过程功率谱密度的小波描述得到激励-响应功率谱密度关系；最后，通过若干数值算例验证了所建议方法的适用性。
1广义谐和小波
2联系系数
小波联系系数（Connection Coefficient）为小波函数或其导数的小波变换，它在微分方程的小波-Galerkin解法中具有重要地位。本文将小波函数第一阶与第二阶导数的小波变换简称为第一与第二阶联系系数，它们在时域内的推导方法详见文[27]。本节将首次从频域角度推导各阶联系系数。由于分数阶导数时域表达的复杂性，频域推导方式在考虑分数阶联系系数时非常有用。
2.1整数阶联系系数
3分數阶导数系统响应的Galerkin法本节将分别采用三角函数和周期广义谐和小波作为基函数，结合Galerkin法对具有分数阶导数的二阶常微分运动方程进行求解。前者可称为Fourier-Galerkin方法，在其他一些研究中又称为谐波平衡法、Fourier变换方法或频域方法，经常作为精确方法与分数阶动力系统的数值方法进行对比以验证后者的适用性（如文[4]）。这里，作为小波-Galerkin方法的基础，本节将重新检视Fourier-Galerkin方法。
3.1Fourier-Galerkin方法
可见，小波-Galerkin法可将运动微分方程转化为一组代数方程，解之能得到响应的各阶小波系数，进而将其小波逆变换后可得响应时程。
3.3激励-响应功率谱密度关系
4数值算例
为了进一步评估本文所建议方法在完全非平稳随机激励下阻尼分数阶导数系统响应功率谱密度中的应用，采用如“情况2”所示的参数设置。为此，本文对比两种不同方法计算得到的系统响应演变功率谱密度，即本文所建议的小波-Galerkin方法和Monte Carlo模拟方法。前者通过式（35）计算得到响应演变功率谱密度；后者结合谱表现方法和随机模拟的样本响应后，利用式（33）统计得到响应演变功率谱密度。本文采用的数值算法参数设置如下：数字化后激励和响应时间间隔Δt=0.04且时间取样点为512个；激励和响应样本过程个数取500个；周期广义谐和小波中每个频带中包含有Nt=8个δ函数。
可见二者吻合程度较好。为了清楚地显示二者在某时间段处的功率谱密度吻合情况，图8（a）给出了不同时间点处（2与6.28 s）两种方法所得结果的对比，可见二者吻合程度较好。同样地，图4与5分别为α=0.5时，利用小波-Galerkin方法和Monte Carlo方法得到的响应演变功率谱密度；图8（b）给出了不同时间点处（2和6.28 s）两种方法所得结果的对比，可见二者吻合程度较好。当α=0.75时，图6与7的演变功率谱密度对比，以及图8（c）所示不同时间点处（2和6.28 s）的功率谱密度对比也支持上述论断。最后，与文献[28]中的结果对比也显示了所建议方法的可靠性。
相同时刻处的功率谱密度值随着α的增大而减小，这是由于当α增大时，分数阶阻尼项越来越表现得像整数阶阻尼项而耗能能力增大，反之，当α减小时，它表现得越来越像刚度项而耗能能力减弱。同理，当α增大时，两时间点处的功率谱密度差别减小，说明随着耗能能力的增加，外部输入能量在这段时间内被大量耗散而无法有效增大结构势能。因此可得，α越小，响应功率谱密度在时-频空间内越“细长”。
值得注意的是，本文利用所建议的小波-Galerkin方法具有如下特点。首先，本文所建议方法相对于Monte Carlo模拟具有更高的计算效率。当系统具有分数阶导数项时，这种计算优势更加明显，这是因为Monte Carlo模拟需要对每个样本激励利用分数阶导数系统的逐步积分法计算样本响应。相较于整数阶导数系统的逐步积分法，分数阶导数系统的历史依赖性使它的逐步积分非常耗时，而样本数目巨大的Monte Carlo模拟又进一步降低了它的计算效率性。相反，本文所建议的方法直接利用式（35）建立了激励功率谱与响应功率谱密度之间的关系，只涉及到简单的矩阵运算，具有较高的计算效率。其次，本文所建议方法相对于文[28]提出的方法适用范围更广。文[28]基于广义谐和小波采用了一种局部平稳法计算线性和非线性振子在完全非平稳随机激励下的演变功率谱响应，这种方法建立在对非平稳随机过程的局部平稳描述[31]的基础上。对整数阶导数的动力系统，文献[27]详细对比了局部平稳法和小波-Galerkin方法的区别并详述了后者的优势，即小波-Galerkin方法更适合阻尼和刚度均较小的情况。这种优势可能对于分数阶导数系统也同样存在，限于篇幅，拟在进一步研究中详论。
5结论与展望
本文利用基于广义谐和小波的Galerkin方法得到了确定性和随机动力激励下分数阶阻尼系统的确定性响应时程和功率谱密度。具体而言，根据广义谐和小波在频域内不重合的特殊性质，利用频域方法得到了周期广义谐和小波的第一、二阶和分数阶联系系数；在对Fourier-Galerkin方法推广的基础上，推导了分数阶阻尼系统确定性响应的小波-Galerkin方法，得到了非平稳激励小波变换系数与响应时程小波变换系数之间的关系；最后，结合非平稳随机过程演变功率谱密度的广义谐和小波表达，得到了非平稳随机激励功率譜密度和响应功率谱密度之间的关系。本文所建议的方法，利用了小波变换的时间-频率分辨率处理由激励引入的时间-频率完全非平稳性，与基于Monte Carlo模拟的响应功率谱密度估计方法对比，具有较高的计算效率。
结合随机动力系统响应的统计线性化方法，本文所发展的方法可望推广应用于计算阻尼项具有分数阶导数形式的非线性系统的响应功率谱密度。
参考文献：
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Abstract： A wavelet-based approach for calculating response evolutionary power spectral density （EPSD） of the linear dynamic system endowed with fractional derivative damping subject to joint time-frequency non-stationary excitation is presented. The core of this approach is the utilizing of the generalized harmonic wavelets （GHW） and Galerkin technique to transform the fractional differential equation of motion into a set of linear algebra equations in terms of unknown wavelet coefficients of the response. Combing with the wavelet representation of the power spectral density of the non-stationary stochastic process， a relationship between the PSD of excitation and of the response is obtained. For this purpose， the GHW connection coefficients of the integer and fractional order involved in the wavelet-Galerkin technique are derived in the frequency domain for the first time. Pertinent numerical examples are presented for systems with different order fractional derivatives demonstrating the reliability of the proposed approach.
Key words： random vibration； power spectral density； generalized harmonic wavelet； connection coefficient； fractional derivative
摘要： 利用小波的时间-频率联合分辨率，提出了一种在完全非平稳随机激励下，计算分数阶阻尼线性系统响应功率谱密度的方法。方法的思路在于选用广义谐和小波，并利用小波-Galerkin近似，将具有分数阶导数的运动微分方程转化为一组以响应小波变换为未知量的代数方程，解之并求得响应小波变换后，结合随机过程功率谱密度的小波变换表达得到激励与响应功率谱密度之间的关系。为此，在频域中推导了小波-Galerkin方法必需的小波整数阶与分数阶联系系数。数值算例表明：对具有不同分数阶导数的系统，所建议的方法具有较好的适用性。
关键词： 随机振动； 功率谱密度； 广义谐和小波； 联系系数； 分数阶导数
中图分类号： O324文献标志码：A文章编号1004-4523（2018）04-0671-10
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.015
引言
19世纪开始尝试将整数阶导数推广到任意阶导数[1]，到目前，分数阶导数作为任意阶导数的代名词，已在流变学、电化学、扩散理论及其他科学与工程领域取得了广泛应用[2]。分数阶导数在描述黏弹性材料本构关系方面的工作始于文献[3]；随后，由于黏弹性材料在土木结构被动控制装置的应用，人们利用分数阶导数模型对结构的隔震与减震控制进行了研究[4-8]。
在具有分数阶导数的线性系统动力响应方面，确定性动力激励下的系统响应可由Laplace变换[9-10]、Fourier变换[11]、数值[12-13]以及特征向量展开[14-15]等方法计算得到；随机动力激励作用下，可由频域[16-17]或时域[18-20]两类方法计算得到系统随机动力响应的统计特征描述。分数阶导数非线性系统随机动力响应研究较少：Huang和Jin[21]采用随机平均法对具有非线性恢复力的单自由度系统在白噪声作用下的情况进行了考察，进一步的研究可见文献[22]；Spanos和Evangelatos[23]则采用统计线性化方法考察了白噪声作用下分数阶Duffing振子的响应二阶矩。可见，对阻尼分数阶系统的随机振动研究仅局限于平稳随机激励的情况，而地震工程研究中存在着广泛的时域非平稳、甚至时-频完全非平稳随机激励的现象，因此，亟需发展在完全非平稳随机激励下分数阶导数系统随机动力响应的计算方法。
小波分析的时间-频率联合分辨性为描述地震动的完全非平稳性[24]提供了可能。基于此，人们利用小波分析对完全非平稳激励下线性、非线性和滞回整数阶导数系统的随机动力响应进行了研究[25-28]。注意到，在此理论框架内分数阶系统却涉足尚少，最近唯一的工作可见文献[29]。对整数阶动力系统，文献[25-27]方法克服了Spanos和Kougioumtzoglou提出的局部平稳法[28]的局限性[27]，适用于刚度与阻尼较小的系统。因此，本文试图将文献[25-27]中的方法推广到具有分数阶阻尼的线性系统；其中，求解广义谐和小波函数的分数阶联系系数为难点所在。
本文的组织结构如下：基于广义谐和小波在频域内的特殊性，首先推导了整数阶与分数阶联系系数；其次，利用小波-Galerkin方法将含分数阶阻尼项的运动微分方程转化为一组以响应小波变换为未知量的代数方程；求解得到响应小波变换后，可通过小波逆变换得到响应时程，或可结合非平稳随机过程功率谱密度的小波描述得到激励-响应功率谱密度关系；最后，通过若干数值算例验证了所建议方法的适用性。
1广义谐和小波
2联系系数
小波联系系数（Connection Coefficient）为小波函数或其导数的小波变换，它在微分方程的小波-Galerkin解法中具有重要地位。本文将小波函数第一阶与第二阶导数的小波变换简称为第一与第二阶联系系数，它们在时域内的推导方法详见文[27]。本节将首次从频域角度推导各阶联系系数。由于分数阶导数时域表达的复杂性，频域推导方式在考虑分数阶联系系数时非常有用。
2.1整数阶联系系数
3分數阶导数系统响应的Galerkin法本节将分别采用三角函数和周期广义谐和小波作为基函数，结合Galerkin法对具有分数阶导数的二阶常微分运动方程进行求解。前者可称为Fourier-Galerkin方法，在其他一些研究中又称为谐波平衡法、Fourier变换方法或频域方法，经常作为精确方法与分数阶动力系统的数值方法进行对比以验证后者的适用性（如文[4]）。这里，作为小波-Galerkin方法的基础，本节将重新检视Fourier-Galerkin方法。
3.1Fourier-Galerkin方法
可见，小波-Galerkin法可将运动微分方程转化为一组代数方程，解之能得到响应的各阶小波系数，进而将其小波逆变换后可得响应时程。
3.3激励-响应功率谱密度关系
4数值算例
为了进一步评估本文所建议方法在完全非平稳随机激励下阻尼分数阶导数系统响应功率谱密度中的应用，采用如“情况2”所示的参数设置。为此，本文对比两种不同方法计算得到的系统响应演变功率谱密度，即本文所建议的小波-Galerkin方法和Monte Carlo模拟方法。前者通过式（35）计算得到响应演变功率谱密度；后者结合谱表现方法和随机模拟的样本响应后，利用式（33）统计得到响应演变功率谱密度。本文采用的数值算法参数设置如下：数字化后激励和响应时间间隔Δt=0.04且时间取样点为512个；激励和响应样本过程个数取500个；周期广义谐和小波中每个频带中包含有Nt=8个δ函数。
可见二者吻合程度较好。为了清楚地显示二者在某时间段处的功率谱密度吻合情况，图8（a）给出了不同时间点处（2与6.28 s）两种方法所得结果的对比，可见二者吻合程度较好。同样地，图4与5分别为α=0.5时，利用小波-Galerkin方法和Monte Carlo方法得到的响应演变功率谱密度；图8（b）给出了不同时间点处（2和6.28 s）两种方法所得结果的对比，可见二者吻合程度较好。当α=0.75时，图6与7的演变功率谱密度对比，以及图8（c）所示不同时间点处（2和6.28 s）的功率谱密度对比也支持上述论断。最后，与文献[28]中的结果对比也显示了所建议方法的可靠性。
相同时刻处的功率谱密度值随着α的增大而减小，这是由于当α增大时，分数阶阻尼项越来越表现得像整数阶阻尼项而耗能能力增大，反之，当α减小时，它表现得越来越像刚度项而耗能能力减弱。同理，当α增大时，两时间点处的功率谱密度差别减小，说明随着耗能能力的增加，外部输入能量在这段时间内被大量耗散而无法有效增大结构势能。因此可得，α越小，响应功率谱密度在时-频空间内越“细长”。
值得注意的是，本文利用所建议的小波-Galerkin方法具有如下特点。首先，本文所建议方法相对于Monte Carlo模拟具有更高的计算效率。当系统具有分数阶导数项时，这种计算优势更加明显，这是因为Monte Carlo模拟需要对每个样本激励利用分数阶导数系统的逐步积分法计算样本响应。相较于整数阶导数系统的逐步积分法，分数阶导数系统的历史依赖性使它的逐步积分非常耗时，而样本数目巨大的Monte Carlo模拟又进一步降低了它的计算效率性。相反，本文所建议的方法直接利用式（35）建立了激励功率谱与响应功率谱密度之间的关系，只涉及到简单的矩阵运算，具有较高的计算效率。其次，本文所建议方法相对于文[28]提出的方法适用范围更广。文[28]基于广义谐和小波采用了一种局部平稳法计算线性和非线性振子在完全非平稳随机激励下的演变功率谱响应，这种方法建立在对非平稳随机过程的局部平稳描述[31]的基础上。对整数阶导数的动力系统，文献[27]详细对比了局部平稳法和小波-Galerkin方法的区别并详述了后者的优势，即小波-Galerkin方法更适合阻尼和刚度均较小的情况。这种优势可能对于分数阶导数系统也同样存在，限于篇幅，拟在进一步研究中详论。
5结论与展望
本文利用基于广义谐和小波的Galerkin方法得到了确定性和随机动力激励下分数阶阻尼系统的确定性响应时程和功率谱密度。具体而言，根据广义谐和小波在频域内不重合的特殊性质，利用频域方法得到了周期广义谐和小波的第一、二阶和分数阶联系系数；在对Fourier-Galerkin方法推广的基础上，推导了分数阶阻尼系统确定性响应的小波-Galerkin方法，得到了非平稳激励小波变换系数与响应时程小波变换系数之间的关系；最后，结合非平稳随机过程演变功率谱密度的广义谐和小波表达，得到了非平稳随机激励功率譜密度和响应功率谱密度之间的关系。本文所建议的方法，利用了小波变换的时间-频率分辨率处理由激励引入的时间-频率完全非平稳性，与基于Monte Carlo模拟的响应功率谱密度估计方法对比，具有较高的计算效率。
结合随机动力系统响应的统计线性化方法，本文所发展的方法可望推广应用于计算阻尼项具有分数阶导数形式的非线性系统的响应功率谱密度。
参考文献：
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Abstract： A wavelet-based approach for calculating response evolutionary power spectral density （EPSD） of the linear dynamic system endowed with fractional derivative damping subject to joint time-frequency non-stationary excitation is presented. The core of this approach is the utilizing of the generalized harmonic wavelets （GHW） and Galerkin technique to transform the fractional differential equation of motion into a set of linear algebra equations in terms of unknown wavelet coefficients of the response. Combing with the wavelet representation of the power spectral density of the non-stationary stochastic process， a relationship between the PSD of excitation and of the response is obtained. For this purpose， the GHW connection coefficients of the integer and fractional order involved in the wavelet-Galerkin technique are derived in the frequency domain for the first time. Pertinent numerical examples are presented for systems with different order fractional derivatives demonstrating the reliability of the proposed approach.
Key words： random vibration； power spectral density； generalized harmonic wavelet； connection coefficient； fractional derivative
