厘清《比的意义》教学的“源”与“流”
姚启规
摘要：“比”是小学数学教学内容中十分抽象的概念，无论对于学生还是对于教师来说，都是一个很难处理的知识点。文章从教材编排、“比”的定义及在教学中如何教学《比的意义》几个方面来阐述学生如何理解《比的意义》的源与流。
关键词：比的意义 同类量比 不同类量比
“比”是小学数学教学内容中十分抽象的概念，无论对于学生还是对于教师来说，都是一个很难处理的知识点。“比”的概念作为小学生数学概念中的重要一环，有其特定的内涵。“比”的本质来源于度量，不仅强调同类量之间的度量，更强调不同类量之间的度量。怎样在教学中聚焦“比”的概念的本源？怎样更好地让学生理解和掌握与“比”相关的知识点？我觉得可以从以下几个方面来处理。
一、把握小学数学教材中对“比”定义的编排
苏教版教材，《比的意义》教学内容编排在六年级上册，被安排在《分数除法》内容之后，教材通过例7和例8两种类型的“比”的教学（例7是同类量的比，例8是不同类量的比），完成学生对“比”的意义的学习与理解。教材通过主题情境图、“比”的概念的定义、比的各部分的认识以及相应的巩固练习模块，明确指出：两个数相除又可以叫作两个数的比。而教材的这种设计，侧重于从除法角度去教学和理解。
人教版教材，《比的意义》这部分内容和苏教版差不多，也是安排在六年级上册的分数除法这个单元之后，不同的是把《比的认识》单独作为一个单元来教学。通过联合国旗、中华人民共和国国旗长与宽之间的关系，以及神舟五号路程与时间之间的关系，直接引出两个数的比表示两个数相除。在认识“比”的环节，既有同类量的比，又有不同类量的比。
北师大版教材，与苏教版和人教版一样，同样是编排在六年级上册，安排在第六单元，以照片的“胖瘦”引出生活中的“比”的定义：两个数相除又叫作这两个数的比。
通过分析不同版本的教材，我们发现：针对比较抽象的《比的认识》这部分内容的教学，都是以具体的生活情境为知识载体，唤醒学生生活中与“比”相关的内在经验，通过比较两个量之间的关系，建立表象，然后抽象出“比”的定义。
“数”是人们从生活中具体的量中抽象出来的，把两个数相除称为两个数的比，是一种自然的定义。仅仅把“比”定义为：两个数相除又叫作两个数的比，这样倒是有些本末倒置，只看表面，不看本质了。把“比”当作除法的附庸，实则是回避了比的本质，仅仅是描述了比的外壳而已。综合这些因素，教材对“比”的定义，应该紧紧抓住“比较”这一核心要素，加以感悟、理解和内化，返璞归真，从“源”到“流”，循序渐进，让抽象难懂的“比”更加平易近人。
无论是苏教版的小学数学教材，还是人教版、北师大版的小学数学教材，如果只把两个数的比定义为两个数相除，这样在很大程度上会让学生把“比”理解为一种数学运算，仅仅是除法运算中的一种形式而已，从而把“比”理解为一种通过数学运算得到的结果。这样的描述，忽视了“比”的现实作用，让学生很难从根本上去感悟出“比”的数学本源。因此，史宁中教授认为：“比”可以理解为两个数量倍数关系的表达或者度量。
二、从本源上去解决“比”在教与学中过度抽象和难以理解的问题，从同类量比入手，抓住“源”
“比”从开始的同类量之间的比较，随着数学的发展，逐渐推广到不同类量之间的比较。在这里，同类量之间的比是“源”，不同类量之间的比是“流”。
在教学《比的意义》时，最好从同类量的、简单的整数比开始。因为同类量的比是学习“比”的源，只有从“同类量的比”抓起，学生才能从根本上去认识和感悟“比”;只有从“简单的整数比”入手，学生才能更容易去学习和理解“比”。因此，建立比的概念，要从儿童比较熟悉的事物，如从球赛中的2：1进球（对于这种可以用减法得到差距关系不是本节课学习的内容，所以当课堂上出现时，老师可以一句话带过，不做关注），到配糖水、配牛奶等，学生在生活感知经验的基础上，从生活现象中的两个数量逐步抽象到两个数的比。
如吴正宪老师在上《比的意义》时，让学生从自己对“比”的认识开始，联系生活经验，让学生在“配牛奶”的讨论中一步步展开，抓住在配牛奶的过程中“变”与“不变”的本质，逐步感悟出在这个过程中，牛奶的量在变化，水的量也在变化，它们是同时按照一定的“规律”不断变化的，牛奶的“味道”是不变的，也就是牛奶始终是1份，水始终是5份，它们的份数比是一直不变的。而这个“规律”始终蕴含在变与不变的过程中，学生体会和理解了同类量倍数关系的“比”。在建立比的概念的过程中，教师要引导儿童体会与相关概念之间的联系，形成良好的数学认知结构。“份”对于小学生来说，是一个重要的数学概念，教师一定要用好，把学生已有的点状的知识变成线状的知识。在吴正宪老师的教学中，不仅提示了“比”可以表示变化的份數，同时也可以表示不变的倍数关系，同时还渗透了“变中有不变”和“简化”的数学思想，强调了数学概念中本质与价值。通过不同的方式对数学教材中蕴藏的数学思想和数学方法，更好地让学生理解现实生活中“比”的意义，更好地体会“比”在生活中的本质。
再如牛献礼老师在教学《比的认识》时，不是只停留在认识“比”的表面和形式上，而是通过对照片的长与宽的比较，引导学生去寻根究底，找到“比”的知识的“源”，让学生从根源上理解比的意义。
先从同类量比入手，让孩子自己举例，接着通过教师的引导，学生在观察、分析、比较等探究活动中感悟“比”的意义，逐步概括出比的本质特征，这样学生就可以得到比的本质属性。
三、从不同类量比入手，厘清“流”
同类量的比值没有量纲，而不同类量的比值会产生新的量纲。不同类量的比，更是学生理解“比”的一个难点，是学习过程中真正的痒处。所以，在进行《比的意义》教学时，不同类量的比，不宜作为比的主要情境引入。只有在充分感知和理解同类量的比的基础上，学生才能抓住知识的本质属性，才能透过现象看本质，舍弃知识的非本质属性，从中领悟知识的本质属性，最终把对知识的理解与掌握落到自己思维品质的最深处。
吴正宪老师在“抓好本源”的基础上，仍从牛奶开始，由甜不甜的问题引出不同类量的比：身高与体重的比可以比较出人胖不胖、瘦不瘦;路程与速度的比可以比较出快不快、慢不慢;总价与数量的比可以比较出贵不贵……由此让学生感受出可以把不同的事物放在一起去比，就好像是一把“万能”的尺子，可以去度量现实生活中许多不能直接比较的事物，有着重要的现实意义，从而为后面的正比例和反比例的学习打下坚实的基础，让学生对正比例和反比例的理解水到渠成。
总之，建立“比”的概念，不能简单地把“比”当作一个知识点去教，更不能仅仅让学生把“比”理解为除法，而应当让儿童在学习探究活动中去体验、感悟“比”的变量以及变量之间的关系，让学生“知其然”，更“知其所以然”，在我们的数学课堂中渗透数学思想，训练学生的数学思维，培养学生的数学核心素养，为后续学习打好基础。数学的学习，是一个漫长、可持续的过程。我们的课堂一定要教着今天，想着明天，为学生将来的学习打好根基，指明方向。
