反思——提高数学素质的有效途径

    孙建荣

    

    

    

    摘要：《数学课程标准》明确要求学生要通过对解决问题过程的反思获得解决问题的经验。因此，学生在数学学习中，最主要的是反思解题本身是否合理和正确，是否能一题多解和多题一解，提高综合解题能力，并且做系统小结。数学教学重要的是培养学生的思维能力，使其经历探索的过程，提高数学素质。

    关键词：数学素质;教学反思;一题多解;多题一解

    中图分类号：G633.6? ?文獻标识码：A? ?文章编号：1992-7711（2020）01-0105

    在数学教学过程中，想要尽快提高学生的数学素质，培养学生的学习能力，首先要有良好的学习习惯，听课时要处理好听、思、说、记的关系，及时复习，还有非常重要的一点，要注重解题反思。数学能力的提高离不开做题，但解题后的反思更重要，与其匆匆忙忙的抢做两张试卷，还不如深入透彻地掌握一张试卷，追求解题质量，好好反思每一道题。新课标明确要求引导学生积极探索经历反思过程，提高数学思维能力。解题后需要反思哪些问题呢？根据学生实际，主要有以下几个方面。

    一、反思解题本身是否合理和正确

    1. 题目做好以后，反思结论是否符合实际，切忌结论荒谬，出现像这种卫星离地面的最远距离为3cm的情况。

    2. 检查是否笔误或概念不清。笔误在做几何证明题时经常会出现，在用三个字母表示角时，切记字母写错，因此在几何证明题做好以后，要从头到尾再检查一遍。还有一些中差学生概念不清，如：函数? 的自变量x的取值范围为_________。有很多学生答案为x≠0，把分母不为0，误认为x≠0。

    3. 是否审题不仔细或忽视了隐含条件。

    例1.（1）Rt△ABC的两边分别为3和4，则斜边长为 4或5。

    （2）Rt△ABC的两边分别为3和4，则第三边长为5或[7]。

    很多学生把这两题混淆起来，数学语言的表达是十分准确并具有特殊意义，对于题目中的每一个字，每一个符号，每一句话都要进行斟酌，把隐含在条件中的某种关系挖掘出来。

    例2.在较长一段时间内，每天都有一艘轮船从甲地开往乙地，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从乙地开往甲地。两地轮船在途中来去的时间都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一航线上，则每一条从甲地出发的轮船直到抵达目的地，共将会遇到对面开来的轮船几艘？

    分析：大多数学生考虑每天开出一艘轮船，7昼夜开出7艘轮船，故将遇到7艘;也有的学生认为轮船到达乙地时恰逢第八天起航的轮船，故将遇到8艘;从而忽略了“在较长的一段时间内”这个隐含条件。事实上，甲地开出的轮船最早遇到的不是当天同一时刻乙地开出的轮船，而是在这之前乙地开出的轮船（正确答案是15艘）。

    4. 运算是否正确

    对于计算类型的题目，做完以后一般要再验算一遍。很多学生都会出现算了两遍，甚至3遍，出现同一个答案，以为正确。试卷一发下来，才恍然大悟，这是由于思维定式的影响，我们应从不同的角度进行验算。

    5. 以特殊代替一般

    如在中学数学的几何证明题中，一些学生画特殊图形代替一般图形，造成证题推理无根据。

    例3.在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点，E是AC上的任意一点，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。

    [A][B][C][D][E]

    错误证法：假设D 是BC的中点，

    ∵AB=AC

    ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC

    （等腰三角形三线合一）

    令∠BAD=α，则∠DAC=α

    ∵AD=AE（已知）∴∠ADE=∠AED

    ∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

    ∴∠ADE=[12]（180°-∠DAE）=[12]（180°-α）=90°-[12]α

    ∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-（90°-[12]α）=[12]α=[12]∠BAD

    上述5个方面是解题后该反思的基本问题，考试时如此，平时更应如此，学生应养成解题后反思的良好习惯。事实上，有不少学生只满足于一知半解，解完了事，不假探索回顾，任其漏洞百出。

    二、反思一题多解和多题一解，提高综合解题能力

    数学知识有机联系，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，通过探求一题多解，寻找最优的解题方法，拓宽学生的发散思维能力。

    例4. 求一次函数y=3x-1于y=-3x+5的交点坐标。

    分析：可以利用图像法解，也可以利用求方程组的解得出。不同的解法既可以揭示出数与形的联系，又沟通了几类知识的横向联系。

    例5. 如图，∠1=∠5，∠3=∠4，

    [A][B][C][D][E][F][1][2][3][4][5][6]

    ∠2=∠6，求证AD∥BC。

    证法一：∵在△ABF中，

    ∠2+∠3+∠AFB=180°

    在△AED中，

    ∠6+∠4+∠5=180°

    ∵∠2=∠6，∠3=∠4

    ∴∠AFB=∠5

    又∵∠5=∠1，∴∠AFB=∠1

    ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。

    证法二：∵∠2=∠6

    ∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）

    ∴∠EAB+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）

    即∠2+∠5+∠4=180°

    ∵∠5=∠1，∠4=∠3

    ∴∠2+∠1+∠3=180°，即∠2+∠ABC=180°

    ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

    上述两种方法，中差生普遍采用前一种证法，可见前一种证法较具体，学生易掌握。

    多题一解可以培养学生化归思维，使学生觉得书“越读越薄”，学习能力越来越高，体验到学习的轻松愉快。

    三、积极反思，系统小结

    反思题目能否变换引申，改变题目的条件，会导出什么新结论;保留题目的条件，结论能否进一步加强;条件作类似的变换，结论能否扩大到一般;思维方法能否迁移。

    例6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

    [A][B][C][D][E]

    AB=DC，求证：∠B=∠C。

    变形：已知梯形ABCD中，AD∥BC，

    AB=DC，∠B=60°，AD=15，AB=45，

    求BC的长。

    分析：该题主要思路是平移腰将梯形分成等腰三角形和平行四边形。结合平行四边形及正三角形的边长特征来解决问题。通过变形，使学生进行全方位的思考，这常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。

    例：求证顺次连接四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。

    分析：此题除了要反思一题多解，还可以将题设变换为特殊的“平行四边形”“矩形”“菱形”“正方形”等情况，以有助于开拓学生的解题思路，让学生思维插上想象的翅膀。

    培养学生解题能力的途径和方法很多，但无论哪种途径和方法，最根本最相通的是离不开思维的训练。注重题后反思，在寻找错误原因中享受成功，力求相同的错误不犯第二次，优化解题过程，寻求最佳解答方法，举一反三，触类旁通，融会贯通，重视渗透和揭示基本的数学思想方法，使学生经历探索的过程，体验如何用数学思想方法分析和解决问题，培养学习的能力，在学生的心灵中撒播“善于思考”的种子，搭建可持续发展的平台。

    （作者单位：江苏省苏州市吴江区青云中学? ?200041）