渗透变式教学 提升复习质量

    程龙军 李韦丽

    

    

    

    摘要:数学复习课既要巩固基础知识和基本技能,又要加深对数学思想方法的理解,培养学生应用数学知识解决各种问题的能力。复习教学要善于利用问题变式串联章节知识,整合数学思想与方法,建立合理、有效、有度的整体结构,发展学生的数学核心素养,提高学生的学习兴趣,提升复习质量。

    关键词:复习课? 变式教学? 知识结构

    章节复习是数学教学的常规性工作。只有经过复习,才能巩固基础知识和基本技能,加深对数学思想方法的理解,建立良好的数学知识结构,培养应用数学知识解决问题的能力。然而,通常使用的讲练结合复习模式,虽然兼顾了知识点复习和知识应用训练,但“就知识点练习知识点”的形式割裂了知识内在的逻辑联系,忽视了数学知识本身具有的生长力以及对重点知识的拓展。因此,笔者提出在章节复习课中渗透变式教学,将知识复习与技能训练有机结合,拓展复习的深度与广度,提升复习的质量。

    一、何为变式教学

    变式教学,是指教师在教学过程中从一个问题出发,有目的、有计划地变换问题的非本质特征,变换条件或者结论,变换问题的内容和形式,在“变”的过程中保留原命题中的本质属性,使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,在“不变”的本质中归纳总结“变”的规律。数学变式教学包括数学概念的变式和技能性变式,而章节复习课通常采用数学技能性变式。变式教学视角下的章节复习课,以一道题为依托,通过变式以点带面,将知识间的内在联系呈现出来,在技能训练的同时融合单元知识点和数学思想方法,避免因“题海战术”给学生带来的压力,提高了课堂教学效率,实现了减负增效。

    二、教学案例与分析

    教学内容:中考复习——一元一次不等式与不等式组。

    教学目标:

    1.了解不等式(组)的有关概念,会解一元一次不等式(组);

    2.会解不等式(组)中字母参数的取值范围,能运用不等式(组)解决实际问题;

    3.增强数学运算能力和数学抽象能力,感悟数形结合思想。

    教学重点:一元一次不等式(组)的解法。

    教学难点:利用数形结合思想求解字母参数的取值范围。

    教学过程:

    1.回顾练习

    (1)若分式12x-1有意义,则x应满足的条件为_________。

    (2)在实数范围内2-3a有意义,则a的取值范围_________。

    (3)已知一次函数y=3k+6x+1,y随x的增大而增大,则k的取值范围是_________。

    (4)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根,m的取值范围是_________。

    (5)三角形的三边长分别为4,k+2,5,则k的取值范围是_________。

    (6)如果a<b,下列结论未必成立的是( 

    A.a+1<b+1

    B.3a<3b

    C.a2<b2

    D.a2<b2

    【设计意图】本环节的第1-5题分别从分式、二次根式、一次函数、一元二次方程和三角形三边关系等知识点入手,其中包含了不等关系的多种表现形式,通过背景不同的问题体会不等式的广泛应用,梳理一元一次不等式(组)的有关概念。第6题的目的是复习不等式的基本性质,为下面解一元一次不等式奠定基础。

    2.典例精析

    问题:解下列不等式,并将解集表示在数轴上。

    (1)5x-2≥x+2

    (2)1-x-36>x3

    【设计意图】本环节通过具体问题回顾了一元一次不等式的一般步骤,总结了解题过程中的易错点,提升了学生的运算能力和数学思维。具体达成以下两个目标:

    (1)总结一元一次不等式的解法:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

    (2)识别解不等式过程中的易错点。易错点一:去分母时常数项容易漏乘;易错点二:去分母时分子漏添括号;易错点三:系数化为1时,搞错不等号的方向。

    变式1:求不等式组5x-2≥x+21-x-36>x3的整数解。

    变式2:分别改变两个不等式中不等号的方向,得到如下不等式组,利用数轴直接说出不等式组的解集。

    5x-2≥x+21-x-36x3,5x-2≤x+21-x-36<x3

    【设计意图】承接原问题,变式1直接将不等式联立为不等式组,求解并归纳解不等式组的步骤,之后通过变式2,改变两个不等式的符号,产生新的不等式组,观察数轴总结解集的四种情况。问题设计的目的是通过一题多用、一题多变、以点带面,既回顾了不等式组解集,又提高了复习效率。

    变式3:关于x的不等式组5x-2≥x+m1-x-36>x3有5个整数解,求m的取值范围。

    变式4:将上述不等式组改为5x-2>x+m1-x-36>x3,答案有何变化?

    【设计意图】变式3中增加了参数,这是本节课的难点所在。为了降低难度,本题直接将变式1中的有理数“2”换成参数“m”,由具体到抽象、由简单到复杂,拓展了问题的探究空间。解题时需要借助数轴使用逆推法分析字母参数的取值范围,具体包括四个步骤:解不等式组——画数轴——确定参数范围——验证临界点。解題过程中,既要依据原有的解不等式组的正向解题思路进行分析,也要根据不等式组整数解的个数,利用数轴直观,逆向观察和推断参数的范围,最后对临界点进行依次赋值验证。变式4承接变式3,通过改变不等号引导学生体会验证临界点的重要性,发展学生严谨的思维习惯。

    变式5:一水果商某次按每千克4元购进一批苹果。销售过程中有20%的苹果正常损耗。问该水果商把售价定为多少时可以避免亏本?

    【设计意图】变式5将含参的不等式问题融入实际问题情境之中,学生通过审题、提取信息,自行设置参数,建立不等关系式,体会了数学建模的思想与方法,也发展了符号意识以及分析问题、解决实际问题的能力。

    3.巩固练习

    (1)求不等式组x-5≥3(x-2)x-1<1+2x3的解集。

    (2)关于x的不等式-1<x≤k有五个整数解,则k的取值范围_________。

    【设计意图】本环节考查了教学重点——解一元一次不等式(组)、教学难点——含参数的一元一次不等式组、易错点——不等式性质3,问题设计层层深入。学生在练习归纳过程中,获得基本思想和基本活动经验,增强学好数学的信心。

    4.课堂小结

    (1)画出本章的思维导图;

    (2)结合思维导图,说说其中蕴含的数学思想与方法。

    三、教学思考

    (一)利用变式教学为知识生长搭建脚手架

    复习教学要给学生预留生长空间,而不仅仅是知识的简单重复。对于抽象内容、重点知识或难点问题,常常需要通过变式教学搭建脚手架。通过变式,引导学生在运用基础知识和基本技能的过程中,梳理章节知识结构,感悟数学思想方法。本节课以初中阶段不等式的各种运用为起点,利用一个问题进行五次连续的变式,在解决问题的过程中贯穿了以下知识点:不等式(组)的定义及解法、数轴上的解集表示、含参不等式(组)的解法、含参不等式的应用。这种方式以点带面,提高了课堂教学效率和学生的学习兴趣。

    在设置变式问题时采用“低起点、小步走、缓上坡”的方式,如上图所示。首先求解一元一次不等式并归纳解题步骤,此为第一个生长点;解不等式组再进行变式,利用数轴感受不等式组的解集情况,此为第二个生长点;已知解集情况,利用数轴直观和类比思想确定参数的取值范围,此为第三个生长点;利用含参数不等式问题解决具体的实际问题,此为第四个生长点。上述问题的生长与变式,从学生现有知识水平出发,将每一个问题设置在学生的“最近发展区”内,并且难度适中、逐层递进,使多数学生借助脚手架就能够解决问题,在解决问题的过程中激发学生的积极主动性,有效促进知识水平和智力水平的发展。

    (二)复习教学要注重知识结构生成

    复习课要关注数学的知识结构,引导学生梳理知识结构图,把零散的数学知识置于整体知识结构中,从知识产生、演变的顺序及学生的认知水平出发架构课堂,引领学生经历整理、练习、对比、辨析的过程,把知识与方法串成链、组成块、结成网。具体来说,梳理知识结构是三位一体的过程:一是梳理知识点结构,例如不等式(组)的定义、解集的意义、基本性质、解法、模型应用等等(如图);

    二是梳理知识之间的相互关系,例如不等式与不等式组的关系、解集与公共解集的关系等;三是通过问题解决挖掘数学思想方法,例如解题过程中涉及的数形结合思想、数学模型思想、逆向思维的策略等等。

    总之,复习教学需要查缺补漏,但也不仅是查缺补漏;需要面面俱到,但也不可能面面俱到。复习的内容应聚焦核心知识,注重课堂结构,让学生看清知识的本来面貌。复习教学要善于渗透变式教学,将知识点串联和整合,建立合理、有效、有度的整体结构,通过思维的自然生长发展学生的数学核心素养。

    参考文献:

    [1]鲍美佳.初中数学变式教学研究[D].哈尔滨:哈尔滨師范大学,2018.

    [2]赵庆林.认知结构化视角下数学复习课的教学探索[J].江苏教育,2020(5):33-36.

    [3]卜以楼.生长数学:卜以楼初中数学教学主张[M].西安:陕西师范大学出版社,2018.