六维分数阶Lorenz?duffing系统仿真
田野++卢志茂+高雪瑶
摘 要： 设计一个混沌行为复杂且具有物理学特性的整数阶混沌系统很难。为了解决这个问题，在整数阶混沌系统中引入了分数阶微分算子，并设计了一个六维分数阶Lorenz?duffing混沌系统；还重点分析了该分数阶混沌系统的平衡点和稳定性以及系统的吸引子、分岔图和Lyapunov指数谱；最后，设计该分数阶混沌电路，并利用Multisim软件仿真分析了该电路。仿真结果表明，该分数阶混沌系统能够产生混沌信号。
关键词： 分数阶系统； Lorenz?duffing系统； Lyapunov 指数； 电路仿真
中图分类号： TN911?34； TN401 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）12?0022?06
Abstract： It is difficult to design an integer order chaotic system with complex chaotic behaviors and physical properties. In this paper， a six?dimensional fractional order Lorenz?duffing chaotic system is designed to solve this problem. The system introduces the fractional order differential operator into the integer order chaotic system. In addition， the equilibrium points and stability of the fractional order chaotic system， and its attractors， bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum are analyzed in detail. Finally， the fractional order chaotic circuit is designed， and the circuit is simulated and analyzed with Multisim software. The simulation results show that the designed fractional order chaotic system can generate chaotic signals.
Keywords： fractional?order system； Lorenz?duffing system； lyapunov exponent； circuit simulation
0 引 言
计算机技术和网络技术的飞速发展使得人们能够更快捷方便地存储与分享各类信息。其中多媒体信息由于其特有的形象和生动的特性逐步成为互联网时代最重要的信息载体之一[1]。但是互联网存在开放包容、任何人都可以自由接入网络的特点，所以近年来发生了一系列的信息泄密事件。这些信息泄密事件使人们意识到信息在互联网中安全传输的重要性。保密通信是保证信息安全传输的最主要策略，数据加密技术是抵抗非法攻击和非法使用的重要手段[2]。常用的数据加密技术有传统加密技术和混沌加密技术。由于多媒体信息，如图像具有高冗余度、大数据量、像素间相关性强等特点，所以采用传统数据加密技术，如分组加密，对多媒体信息进行加密将不再有效[3]。混沌系统因为具有遍历性、对初值和控制参数敏感、伪随机性和长期不可预测性等优良的密码学特性，所以正被广泛地应用于互联网的保密通信中[4]。
研究者也因此设计了多种混沌模型，例如，Lorenz最早设计了一个研究混沌的经典模型，即Lorenz混沌模型，该模型由三个常微分方程构成[5]。陈关荣等在Lorenz系统的基础上发现了一个新的可以产生混沌行为的常微分方程组，Chen系统[6]。但是，这两个混沌模型存在一定的局限性，当且仅当该模型微分方程中的一组参数取得特定值时，该模型才能呈现混沌行为。在Lorenz混沌系统的基础上，后面的学者又相继设计了多种具有丰富混沌动力学行为的著名混沌系统。如分别源于物理学和电子工程理论的连续动力学系统，R?ssler系统[7]和Chua′s电路[8]，以及源于生物学的离散动力学系统，Logistic映射[9]。從数学式上看Logistic映射只是一个简单的差分方程，但是该混沌映射可以产生极其复杂的动力学行为。当前，该混沌映射在保密通信领域有着十分广泛的应用。尽管上述混沌系统的出现推动了混沌系统理论的发展，且有着较复杂的混沌动力学行为，但是他们都属于整数阶混沌系统，这种整数阶的混沌系统不符合实际的物理特性。
近年来，研究者发现，许多混沌系统都展现出了分数阶特性的动力学行为，且与整数阶混沌系统相比，分数阶混沌系统有着更加复杂的动力学特性，更加符合工程应用的实际情况；因此，在整数阶混沌系统的基础上，研究者设计了一系列的分数阶混沌系统。例如，分数阶低至2.7的分数阶Chua系统[10]、分数阶低至2.97的Lorenz系统[11]、分数阶低至2.1的Chen系统[12]中都存在混沌行为。在过去的研究中还发现，分数阶低至2.4的R?ssler系统以及分数阶低至3.8的超混沌R?ssler系统中也可以发现混沌吸引子[13]。
随着分数阶混沌系统的分数阶数值的不同，该系统会呈现出不同的状态，而且同一个分数阶系统呈现混沌的分数阶的取值不是固定的而是在一个范围内；因此，与整数阶混沌系统相比，这种分数阶系统的混沌行为更加复杂，更不易被复制。但是上述分数阶系统的低维较低，利用这些低维混沌系统生成的混沌序列的密钥空间还有待进一步提高。为了解决这个问题，文献[14]提出了一个三维分数阶混沌系统，与Lorenz和Chen等混沌系统相比，该系统有更多的非线性项，而且增加的非线性乘积项带有较大的权重系数，且代数结构也发生了变化，因此该混沌系统得到了更加复杂的分叉、混沌行为。尽管该系统得到了较大的Lyapunov指数和更复杂的动力学行为，但是该分数阶混沌系统的维度不够高。
正如大家所知，低维混沌系统因其高效简单的优点而被广泛的采用[15]，但它们的弱点也很明显，如密钥空间小和安全性弱。此外，低维混沌系统产生的伪随机性和序列复杂度也不够高[16]。与低维混沌系统相比，高维混沌系统具有更加复杂的结构，更多的系统变量和参数[17]，所有这些特征保证了高维混沌系统更适用于密码系统。采用高维混沌系统得到的密码系统的密钥空间更大，系统变量的时间序列將更不稳定、更不可预测。因此，对密码系统而言高维混沌系统是更好的选择[18]。本文设计了一个高维分数阶混沌系统混沌信号发生电路。尽管分数阶混沌系统比整数阶混沌系统更符合自然界的实际情况也拥有更加复杂的混沌行为，但是分数阶微积分存在历史记忆性和全局相关性的特性，所以分数阶微积分在实际计算中比较复杂，而且按照分数阶微积分的标准定义也无法在时域中直接对其进行计算。因此本文采用频域近似的方法，利用整数阶算子逼近分数阶算子得到分数阶混沌系统的近似解。本文通过Multisim 14软件仿真验证了该混沌信号发生电路能够产生具有复杂行为的混沌信号。
1 六维分数阶Lorenz?duffing系统及其动力学特性
1.4 六维分数阶Lorenz?duffing系统分岔图与Lyapunov指数
采用式（5）给出的频域近似，分析随着参数的改变，六维分数阶Lorenz?duffing系统的Lyapunov指数图、分岔图的变化情况。
（1） 固定参数=4，=20，=-2.5，=4，=5， =20，改变参数，当080，由图3（a）系统的Lyapunov指数谱可知，当0.823.7，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当00.8或23.780，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式。图3（b）的分岔图也说明了系统随参数a变化的动力学特征。
（2） 固定参数=10，=20，=-2.5，=4，=5，=20，改变参数。当030，由图4（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当07，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当730，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式。图4（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（3） 固定参数=10，=4，=-2.5，=4，=5， =20，改变参数。当060，由图5（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当02.5，最大的Lyapunov指数小于0，系统处于稳定状态；当2.57，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式，当760，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图5（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（4） 固定参数=10，=4，=20，=4，=5，=20，改变参数。当-3030，由图6（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当-0.50.5，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式；当-30-0.5或0.530，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图6（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（5） 固定参数=10，=4，=20，=-2.5，=5， =20，改变参数。当060，由图7（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当06.6，7.69.2或9.710.1，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当6.67.6或9.29.7或10.160，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式。图7（b）的分岔图也说明了系统随参数e变化的动力学特征。
（6） 固定参数=10，=4，=20，=-2.5，=4， =20，改变参数。当-3030，由图8（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当-0.70.7，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式；当-30-0.7或0.730，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图8（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（7） 固定参数=10，=4，=20，=-2.5，=4， =5，改变参数。当080，系统的Lyapunov指数谱和分岔图如图9所示。
由图9（a）可知，当01.8时，最大Lyapunov指数小于0，系统处于稳定状态；当1.85或3380，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式当533，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图9（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
2 六维分数阶Lorenz?duffing混沌系统的电路实现
根据文献[22]提出的整数阶混沌电路模块化设计方法和频域近似方法，验证六维分数阶Lorenz?duffing系统的混沌特性，使用模拟运算放大器、乘法器、电阻和电容。根据文献[21] ，当=0.98时，得到的单元电路中元器件的参数值为：=91.187 3 MΩ，=190.933 Ω，=0.975 3 μF，=3.680 6 μF， 电路单元如图10所示。
本文设计了一个模拟电路实现了0.98 阶次的六维分数阶Lorenz?duffing系统，如图11所示。
其中，AD633是乘法器，TL082ID为运算放大器，====，=，=====================，=======，==，==，=，对六维分数阶Lorenz?duffing系统的电路利用Multisim软件进行仿真，吸引子的相图如图12所示。可以得出，电路实验仿真结果与数值模拟结果，如图2所示，基本上是一致的。
3 结 论
本文设计了一个六维分数阶Lorenz?duffing混沌系统，并利用整数阶算子逼近分数阶算子的方法得到了分数阶混沌系统的近似解。利用Matlab数值仿真技术，重点分析了该混沌系统的平衡点和稳定性以及系统的动力学特性，包括混沌吸引子、分岔图和Lyapunov指数谱。最后，绘制了该分数阶混沌系统的电路原理图，在Multisim 软件上电路仿真结果验证了该分数阶系统的可行性。
参考文献
[1] GU G， LING J. A fast image encryption method by using chaotic 3D cat maps [J]. Optik? international journal for light and electron optics， 2014， 125（17）： 4700?4705.
[2] 王伟，彭存建.一种新型离散指数混沌映射的實现及其研究[J].现代电子技术，2014，37（1）：83?85.
[3] KHAN M， SHAH T. An efficient chaotic image encryption scheme [J]. Neural computing & applications， 2014， 26： 1?12.
[4] 李春明，姬胜凯.蔡氏混沌保密通信系统仿真研究[J].现代电子技术，2013，36（21）：74?77.
[5] LORENZ E N. Deterministic nonperiodic flow [J]. Journal of the atmospheric sciences， 1963， 20（2）： 130?141.
[6] CHEN G， UETA T. Yet another chaotic attractor [J]. International journal of bifurcation and chaos， 1999， 9（07）： 1465?1466.
[7] R?SSLER O E. An equation for continuous chaos [J]. Physics letters A， 1976， 57（5）： 397?398.
[8] CHUA L O， KOMURO M， MATSUMOTO T. The double scroll family [J]. IEEE transactions on circuits and systems， 1986， 33（11）： 1072?1118.
[9] MAY R M. Simple mathematical models with very complicated dynamics [J]. Nature， 1976， 261（5560）： 459?467.
[10] HARTLEY T T， LORENZO C F， QAMMER H K. Chaos in a fractional order Chua's system [J]. IEEE transactions on CASI， 1995， 42（8）： 485?490.
[11] GRIGORENKO I， GRIGORENKO E. Chaotic dynamics of the fractional Lorenz system [J]. Physical review lettters， 2003， 91（3）： 034101.
[12] LU J G， CHEN G. A note on the fractional?order Chen system [J]. Chaos， solitons & fractals， 2006， 27（3）： 685?688.
[13] Li C G， Chen G. Synchronization in general complex dynamical networks with coupling delays [J]. Physica A， 2004， 343（15）： 263?278.
[14] 左建政，王光义.一种新的分数阶混沌系统研究[J].现代电子技术，2009，32（10）：122?124.
[15] ZHANG G， LIU Q. A novel image encryption method based on total shuffling scheme [J]. Journal of optical communications and networking， 2011， 284： 2775?2780.
[16] AKHAVAN A， SAMSUDIN A， Akhshani A. A symmetric image encryption scheme based on combination of nonlinear chaotic maps [J]. Journal of Frankl Inst， 2011， 348： 1797?1813.
[17] BORUJENI S E， ESHGHI M. Chaotic image encryption system using phase?magnitude transformation and pixel substitution [J]. Telecommunication systems， 2013， 52（2）： 525–537.
[18] NOROUZI B， SEYEDZADEH S M， MIRZAKUCHAKI S， et al. A novel image encryption based on row?column， masking and main diffusion processes with hyper chaos [J]. Multimedia tools & applications， 2013， 74（3）： 781?811.
[19] 张帆.基于Lorenz?Duffing复合混沌系统的彩色图像加密[J].微电子学与计算机，2013（10）：62?65.
[20] CHAREF A， SUN H H， TSAO Y Y， et al. Fractal system as represented by singularity function [J]. IEEE transactions on automatic control， 1992， 37（9）： 1465?1470.
[21] 邵书义，闵富红，马美玲，等.分数阶Chua′s系统错位同步无感模块化电路实现及应用[J].物理学报，2013，62（13）：130504.
[22] YU S， L? J， CHEN G. A module?based and unified approach to chaotic circuit design and its applications [J]. International journal of bifurcation and chaos， 2007， 17（05）： 1785?1800.
摘 要： 设计一个混沌行为复杂且具有物理学特性的整数阶混沌系统很难。为了解决这个问题，在整数阶混沌系统中引入了分数阶微分算子，并设计了一个六维分数阶Lorenz?duffing混沌系统；还重点分析了该分数阶混沌系统的平衡点和稳定性以及系统的吸引子、分岔图和Lyapunov指数谱；最后，设计该分数阶混沌电路，并利用Multisim软件仿真分析了该电路。仿真结果表明，该分数阶混沌系统能够产生混沌信号。
关键词： 分数阶系统； Lorenz?duffing系统； Lyapunov 指数； 电路仿真
中图分类号： TN911?34； TN401 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）12?0022?06
Abstract： It is difficult to design an integer order chaotic system with complex chaotic behaviors and physical properties. In this paper， a six?dimensional fractional order Lorenz?duffing chaotic system is designed to solve this problem. The system introduces the fractional order differential operator into the integer order chaotic system. In addition， the equilibrium points and stability of the fractional order chaotic system， and its attractors， bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum are analyzed in detail. Finally， the fractional order chaotic circuit is designed， and the circuit is simulated and analyzed with Multisim software. The simulation results show that the designed fractional order chaotic system can generate chaotic signals.
Keywords： fractional?order system； Lorenz?duffing system； lyapunov exponent； circuit simulation
0 引 言
计算机技术和网络技术的飞速发展使得人们能够更快捷方便地存储与分享各类信息。其中多媒体信息由于其特有的形象和生动的特性逐步成为互联网时代最重要的信息载体之一[1]。但是互联网存在开放包容、任何人都可以自由接入网络的特点，所以近年来发生了一系列的信息泄密事件。这些信息泄密事件使人们意识到信息在互联网中安全传输的重要性。保密通信是保证信息安全传输的最主要策略，数据加密技术是抵抗非法攻击和非法使用的重要手段[2]。常用的数据加密技术有传统加密技术和混沌加密技术。由于多媒体信息，如图像具有高冗余度、大数据量、像素间相关性强等特点，所以采用传统数据加密技术，如分组加密，对多媒体信息进行加密将不再有效[3]。混沌系统因为具有遍历性、对初值和控制参数敏感、伪随机性和长期不可预测性等优良的密码学特性，所以正被广泛地应用于互联网的保密通信中[4]。
研究者也因此设计了多种混沌模型，例如，Lorenz最早设计了一个研究混沌的经典模型，即Lorenz混沌模型，该模型由三个常微分方程构成[5]。陈关荣等在Lorenz系统的基础上发现了一个新的可以产生混沌行为的常微分方程组，Chen系统[6]。但是，这两个混沌模型存在一定的局限性，当且仅当该模型微分方程中的一组参数取得特定值时，该模型才能呈现混沌行为。在Lorenz混沌系统的基础上，后面的学者又相继设计了多种具有丰富混沌动力学行为的著名混沌系统。如分别源于物理学和电子工程理论的连续动力学系统，R?ssler系统[7]和Chua′s电路[8]，以及源于生物学的离散动力学系统，Logistic映射[9]。從数学式上看Logistic映射只是一个简单的差分方程，但是该混沌映射可以产生极其复杂的动力学行为。当前，该混沌映射在保密通信领域有着十分广泛的应用。尽管上述混沌系统的出现推动了混沌系统理论的发展，且有着较复杂的混沌动力学行为，但是他们都属于整数阶混沌系统，这种整数阶的混沌系统不符合实际的物理特性。
近年来，研究者发现，许多混沌系统都展现出了分数阶特性的动力学行为，且与整数阶混沌系统相比，分数阶混沌系统有着更加复杂的动力学特性，更加符合工程应用的实际情况；因此，在整数阶混沌系统的基础上，研究者设计了一系列的分数阶混沌系统。例如，分数阶低至2.7的分数阶Chua系统[10]、分数阶低至2.97的Lorenz系统[11]、分数阶低至2.1的Chen系统[12]中都存在混沌行为。在过去的研究中还发现，分数阶低至2.4的R?ssler系统以及分数阶低至3.8的超混沌R?ssler系统中也可以发现混沌吸引子[13]。
随着分数阶混沌系统的分数阶数值的不同，该系统会呈现出不同的状态，而且同一个分数阶系统呈现混沌的分数阶的取值不是固定的而是在一个范围内；因此，与整数阶混沌系统相比，这种分数阶系统的混沌行为更加复杂，更不易被复制。但是上述分数阶系统的低维较低，利用这些低维混沌系统生成的混沌序列的密钥空间还有待进一步提高。为了解决这个问题，文献[14]提出了一个三维分数阶混沌系统，与Lorenz和Chen等混沌系统相比，该系统有更多的非线性项，而且增加的非线性乘积项带有较大的权重系数，且代数结构也发生了变化，因此该混沌系统得到了更加复杂的分叉、混沌行为。尽管该系统得到了较大的Lyapunov指数和更复杂的动力学行为，但是该分数阶混沌系统的维度不够高。
正如大家所知，低维混沌系统因其高效简单的优点而被广泛的采用[15]，但它们的弱点也很明显，如密钥空间小和安全性弱。此外，低维混沌系统产生的伪随机性和序列复杂度也不够高[16]。与低维混沌系统相比，高维混沌系统具有更加复杂的结构，更多的系统变量和参数[17]，所有这些特征保证了高维混沌系统更适用于密码系统。采用高维混沌系统得到的密码系统的密钥空间更大，系统变量的时间序列將更不稳定、更不可预测。因此，对密码系统而言高维混沌系统是更好的选择[18]。本文设计了一个高维分数阶混沌系统混沌信号发生电路。尽管分数阶混沌系统比整数阶混沌系统更符合自然界的实际情况也拥有更加复杂的混沌行为，但是分数阶微积分存在历史记忆性和全局相关性的特性，所以分数阶微积分在实际计算中比较复杂，而且按照分数阶微积分的标准定义也无法在时域中直接对其进行计算。因此本文采用频域近似的方法，利用整数阶算子逼近分数阶算子得到分数阶混沌系统的近似解。本文通过Multisim 14软件仿真验证了该混沌信号发生电路能够产生具有复杂行为的混沌信号。
1 六维分数阶Lorenz?duffing系统及其动力学特性
1.4 六维分数阶Lorenz?duffing系统分岔图与Lyapunov指数
采用式（5）给出的频域近似，分析随着参数的改变，六维分数阶Lorenz?duffing系统的Lyapunov指数图、分岔图的变化情况。
（1） 固定参数=4，=20，=-2.5，=4，=5， =20，改变参数，当080，由图3（a）系统的Lyapunov指数谱可知，当0.823.7，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当00.8或23.780，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式。图3（b）的分岔图也说明了系统随参数a变化的动力学特征。
（2） 固定参数=10，=20，=-2.5，=4，=5，=20，改变参数。当030，由图4（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当07，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当730，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式。图4（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（3） 固定参数=10，=4，=-2.5，=4，=5， =20，改变参数。当060，由图5（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当02.5，最大的Lyapunov指数小于0，系统处于稳定状态；当2.57，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式，当760，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图5（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（4） 固定参数=10，=4，=20，=4，=5，=20，改变参数。当-3030，由图6（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当-0.50.5，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式；当-30-0.5或0.530，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图6（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（5） 固定参数=10，=4，=20，=-2.5，=5， =20，改变参数。当060，由图7（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当06.6，7.69.2或9.710.1，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当6.67.6或9.29.7或10.160，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式。图7（b）的分岔图也说明了系统随参数e变化的动力学特征。
（6） 固定参数=10，=4，=20，=-2.5，=4， =20，改变参数。当-3030，由图8（a）系统的Lyapunov指数谱可知；当-0.70.7，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式；当-30-0.7或0.730，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图8（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
（7） 固定参数=10，=4，=20，=-2.5，=4， =5，改变参数。当080，系统的Lyapunov指数谱和分岔图如图9所示。
由图9（a）可知，当01.8时，最大Lyapunov指数小于0，系统处于稳定状态；当1.85或3380，最大Lyapunov指数几乎等于0，系统表现为周期运动形式当533，最大的Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。图9（b）的分岔图也说明了系统随参数变化的动力学特征。
2 六维分数阶Lorenz?duffing混沌系统的电路实现
根据文献[22]提出的整数阶混沌电路模块化设计方法和频域近似方法，验证六维分数阶Lorenz?duffing系统的混沌特性，使用模拟运算放大器、乘法器、电阻和电容。根据文献[21] ，当=0.98时，得到的单元电路中元器件的参数值为：=91.187 3 MΩ，=190.933 Ω，=0.975 3 μF，=3.680 6 μF， 电路单元如图10所示。
本文设计了一个模拟电路实现了0.98 阶次的六维分数阶Lorenz?duffing系统，如图11所示。
其中，AD633是乘法器，TL082ID为运算放大器，====，=，=====================，=======，==，==，=，对六维分数阶Lorenz?duffing系统的电路利用Multisim软件进行仿真，吸引子的相图如图12所示。可以得出，电路实验仿真结果与数值模拟结果，如图2所示，基本上是一致的。
3 结 论
本文设计了一个六维分数阶Lorenz?duffing混沌系统，并利用整数阶算子逼近分数阶算子的方法得到了分数阶混沌系统的近似解。利用Matlab数值仿真技术，重点分析了该混沌系统的平衡点和稳定性以及系统的动力学特性，包括混沌吸引子、分岔图和Lyapunov指数谱。最后，绘制了该分数阶混沌系统的电路原理图，在Multisim 软件上电路仿真结果验证了该分数阶系统的可行性。
参考文献
[1] GU G， LING J. A fast image encryption method by using chaotic 3D cat maps [J]. Optik? international journal for light and electron optics， 2014， 125（17）： 4700?4705.
[2] 王伟，彭存建.一种新型离散指数混沌映射的實现及其研究[J].现代电子技术，2014，37（1）：83?85.
[3] KHAN M， SHAH T. An efficient chaotic image encryption scheme [J]. Neural computing & applications， 2014， 26： 1?12.
[4] 李春明，姬胜凯.蔡氏混沌保密通信系统仿真研究[J].现代电子技术，2013，36（21）：74?77.
[5] LORENZ E N. Deterministic nonperiodic flow [J]. Journal of the atmospheric sciences， 1963， 20（2）： 130?141.
[6] CHEN G， UETA T. Yet another chaotic attractor [J]. International journal of bifurcation and chaos， 1999， 9（07）： 1465?1466.
[7] R?SSLER O E. An equation for continuous chaos [J]. Physics letters A， 1976， 57（5）： 397?398.
[8] CHUA L O， KOMURO M， MATSUMOTO T. The double scroll family [J]. IEEE transactions on circuits and systems， 1986， 33（11）： 1072?1118.
[9] MAY R M. Simple mathematical models with very complicated dynamics [J]. Nature， 1976， 261（5560）： 459?467.
[10] HARTLEY T T， LORENZO C F， QAMMER H K. Chaos in a fractional order Chua's system [J]. IEEE transactions on CASI， 1995， 42（8）： 485?490.
[11] GRIGORENKO I， GRIGORENKO E. Chaotic dynamics of the fractional Lorenz system [J]. Physical review lettters， 2003， 91（3）： 034101.
[12] LU J G， CHEN G. A note on the fractional?order Chen system [J]. Chaos， solitons & fractals， 2006， 27（3）： 685?688.
[13] Li C G， Chen G. Synchronization in general complex dynamical networks with coupling delays [J]. Physica A， 2004， 343（15）： 263?278.
[14] 左建政，王光义.一种新的分数阶混沌系统研究[J].现代电子技术，2009，32（10）：122?124.
[15] ZHANG G， LIU Q. A novel image encryption method based on total shuffling scheme [J]. Journal of optical communications and networking， 2011， 284： 2775?2780.
[16] AKHAVAN A， SAMSUDIN A， Akhshani A. A symmetric image encryption scheme based on combination of nonlinear chaotic maps [J]. Journal of Frankl Inst， 2011， 348： 1797?1813.
[17] BORUJENI S E， ESHGHI M. Chaotic image encryption system using phase?magnitude transformation and pixel substitution [J]. Telecommunication systems， 2013， 52（2）： 525–537.
[18] NOROUZI B， SEYEDZADEH S M， MIRZAKUCHAKI S， et al. A novel image encryption based on row?column， masking and main diffusion processes with hyper chaos [J]. Multimedia tools & applications， 2013， 74（3）： 781?811.
[19] 张帆.基于Lorenz?Duffing复合混沌系统的彩色图像加密[J].微电子学与计算机，2013（10）：62?65.
[20] CHAREF A， SUN H H， TSAO Y Y， et al. Fractal system as represented by singularity function [J]. IEEE transactions on automatic control， 1992， 37（9）： 1465?1470.
[21] 邵书义，闵富红，马美玲，等.分数阶Chua′s系统错位同步无感模块化电路实现及应用[J].物理学报，2013，62（13）：130504.
[22] YU S， L? J， CHEN G. A module?based and unified approach to chaotic circuit design and its applications [J]. International journal of bifurcation and chaos， 2007， 17（05）： 1785?1800.
