以三角板为背景的几何命题探究

    兰洲

    [摘? 要] 三角板是学生常用的作图工具,以三角板为基础综合数学内容命制的考题在中考中十分常见,如三角板与旋转、三角板与圆、三角板与反比例函数、三角板与平移等. 文章将探究三角板相关考题的知识背景,结合实例剖析问题的解析思路,提出相应的教学建议,与读者交流.

    [关键词] 三角板;旋转;圆;反比例函数;平移

    背景综述

    在“培養学生动手能力,提升学生探究思维”的教学理念下,近几年中考越发注重以学生熟悉的几何图形为载体来综合命制考题,考查学生的实践能力、解析思维. 三角板是学生常用的作图工具,由于三角板的边与角的特殊性,使其含有丰富的数学知识与规律,以其为背景融合几何图形、函数曲线,不仅极具创新性,还能较好地考查学生的探究归纳能力、运用思想方法的能力等. 这类问题往往立足基本的几何性质,综合图形运动、三角函数、曲线图像等知识,立意新颖、知识点众多,如求解叠放三角板旋转角度,分析三角板与圆的综合,思考函数曲线中的三角板位置,探究三角板平移过程等.

    实例探索

    1. 三角板旋转中的角度大小

    例1? (2020年齐齐哈尔市中考卷第9题)有两个直角三角形纸板,一个含45°角,另一个含30°角,如图1所示叠放,先将含30°角的纸板固定不动,再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转,使BC∥DE,如图2所示,则旋转角∠BAD的度数为______.

    解析:本题目中将两个45°角和30°角的三角板叠放,并将45°角三角板围绕点A顺时针旋转. 问题解析需要关注两点:一是两三角板叠放的位置,二是三角板旋转过程. 突破的关键条件是BC∥DE,可利用平行特性进行角度推导.

    因为BC∥DE,则∠CFA=∠D=90°,又因为∠CFA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD,则∠BAD=30°,即旋转角∠BAD的度数为30°.

    点评? 上述分析叠放三角板旋转中的角度,实则考查平行线的性质以及外角的性质,解析过程要关注叠放三角形的位置关系,把握三角板旋转的三要素. 结合三角板的相对关系及角度特性构建角度模型.

    2. 三角板与圆的结合探究

    例2? 将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB(其中∠ABD=90°,∠D=60°,∠ACB=90°,∠ABC=45°)如图3所示摆放,Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合. 以AB为直径的圆经过点C,且与AD交于点E,分别连接EB,EC.

    (1)求证:EC平分∠AEB;

    (2)求 的值.

    解析:本题目将三角板与圆相结合,构建了复合模型,两小问分别求证角平分和三角形面积比值. 其中两个三角板的相对位置是解析的关键,另外在求解面积比值问题时要合理构建面积模型,将其转化为线段比值问题.

    (1)由条件可得∠BAC=∠ABC=45°,由圆周角定理可得∠AEC=∠ABC,∠BEC=∠BAC,等量代换可得∠BEC=∠AEC,则EC平分∠AEB.

    (2)设AB与EC的交点为M,由角平分线的性质可得 = ,分析可得∠BAD=30°,由直径所对的圆周角为直角可得∠AEB=90°,通过解Rt△AEB可得AE= BE,所以 = = .

    分别过点A和B作EC的垂线,设垂足为点F和G,如图4所示. 则△ACE的面积为S = CE·AF,△BEC的面积为S = CE·BG, = . 分析可证Rt△AFM∽Rt△BGM,由三角形相似性质可得 = = ,所以 的值为 .

    评析? 上述将两个三角板进行叠放,并以其中一斜边构建了圆,从而使图形中不仅含有三角形特性,还涉及了几何圆性质. 一般求证角平分需通过等角代换进行推导,而解析三角形面积比值关系时,可将其转化为线段之比. 在几何中,线段之比的解法有三种思路:一是直接通过线段长度关系转化,二是由三角形相似性质推导,三是构建直角模型,利用三角形函数.

    3. 三角板与反比例函数融合思考

    例3? (2020年衢州市中考卷第15题)如图5,将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中,AB在x轴上,点G与点A重合,点F在AD上,三角板的直角边EF交BC于点M,反比例函数y= (x>0)的图像恰好经过点F,M. 若直尺的宽CD=3,三角板的斜边FG=8 ,则k=______.

    解析:本题目中将三角形、30°角的三角板摆放在平面直角坐标系中,提取三角板与直尺的几个交点来构建反比例函数曲线. 解析的关键是确定点F或M的坐标,实则就是求线段长,需要构建特殊三角形模型.

    过点M作AD的垂线,设垂足为点N,如图5所示. 则MN=CD=3,在Rt△FMN中,已知∠MFN=30°,MN=3,则FN= MN=3 ,AN=MB=8 -3 =5 . 设OA=x,OB=x+3,则点F和M的坐标分别为(x,8 ),(x+3,5 ). 点F和M均位于反比例函数曲线上,将点坐标代入y= 中,联立可解得x=5,k=40 .

    评析? 上述将直尺和三角板放在了平面直角坐标系中,求反比例函数的k值,主要考查反比例函数图像上点的坐标特征. 将点坐标代入函数关系式是常用的方法,图中三角板的特殊角是隐含条件,可合理构建直角三角形模型,结合三角函数求线段长.

    4. 三角板平移过程的探究

    例4? (2020年青海市中考卷第27题)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.

    特例感知:

    (1)将一等腰直角三角尺按图6所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC重合,另一条直角边恰好经过点B. 通过观察、测量BF与CG的长度,得到BF=CG,请给予证明.

    猜想论证:

    (2)当三角尺沿AC方向移动到图7所示的位置时,一条直角边仍与AC边重合,另一条直角边交BC于点D,过点D作DE⊥BA,垂足为E. 此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系,并证明你的猜想.

    联系拓展:

    (3)当三角尺在图7的基础上沿AC方向继续移动到图8所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,请你判断(2)中的猜想是否仍然成立?(不用证明).

    解析:本题目为几何探究题,以三角板与三角形重叠平移为背景,探究线段之间的关系. 考题设计了三个阶段,问题难度逐步加深,但解析思路往往相似,可采用类比联想的方式解析.

    (1)图6中,三角板的直角边与AC重合,且另一直角边过点B,由∠F=∠G=90°,∠FAB=∠CAG,AB=AC可证△FAB≌△GAC(AAS),所以BF=CG.

    (2)三角板沿着AC方向继续平移,使得一条直角边与BC出现交点,探究DE、DF与CG的长度可采用等面积法. 连接AD,如图9所示,AD将△ABC分割为△ABD和△ADC两部分,则S =S +S . 已知DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,则结合面积公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF,又知AB=AC,所以CG=DE+DF.

    (3)该问是基于第(2)问的进一步探讨,可参考上述等面积转化思路解析. 同样连接AD,如圖10所示,由等面积法可得S =S +S ,已知DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,结合面积公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF,又知AB=AC,所以CG=DE+DF,即结论不变.

    评析? 上述结合等腰三角板进行几何平移,探究平移过程中线段之间的长度关系,三角板的出现不仅使问题更贴近生活,同时隐含着特殊角. 上述解析过程把握几何平移的特性,采用了全等变换、等面积变换两种方法探讨不同平移情形,充分体现了“动中有静”“化动为静”的解题策略. 与线段长度相关的几何问题,突破的方法有多种,除了上述的全等变换、等面积转化外,还可以采用相似转换、勾股定理、三角函数等.

    总结思考

    三角板是作图的常用工具,同时也是学生熟悉的特殊图形,以三角板为依托构建几何考题较为新颖,贴近生活,蕴含数学规律. 上述以三角板为背景,结合旋转、圆、反比例函数、平移构建了四大类问题,立足三角形基础知识,关注知识融合,注重方法探究,融合数学思想,引导学生深入探究考题,体验解题过程,总结解题方法,可显著提升学生的解题能力.

    中考创新题的“新”主要体现在命题形式上,但问题本质是不变的,依然遵循数学规律,按照常规思路进行命题构建. 在教学几何创新题时,可分以下四步进行:第一步,引导学生读题审题,总结问题所涉知识点;第二步,探究问题本质,思考转化思路;第三步,引导学生把握知识关联,结合思想方法简化解析;第四步,剖析构题思路,总结问题方法,适度拓展解法. “四步教学”法是基于问题本质、方法的解题探究,教学过程要注重引导思考、思维培养,可合理渗透数学的思想方法,培养学生的数学思维.

    以三角板为背景的几何问题类型较多,上述所呈现的是其中典型的几例,涉及基本图形、图形运动、函数内容等. 虽然问题形式不同,考查点有差异,但分析思路相一致. 问题探究要充分把握三角板角的特殊性,联系相关知识进行几何转化,合理利用数形结合方法,挖掘问题本质. 教学中建议注重剖析问题特点,关注解法思路,设问引导思考,提升学生的综合能力.