核心素养下“抛物线及其标准方程”新授课的教学策略探究

    吴荣燕

    

    【摘要】本文基于发展学生核心素养视角，对“抛物线及其标准方程”新授课提出了以下教学策略：精心设计基础知识回顾，为新课学习打好基础;合理创设问题解决活动，推进新课的学习进程;通过信息技术融合课程学习活动，提高学生的数学思维能力;搭建“说数学”的交流平台，让学生在新授课的探究中品尝数学学习的成功感.

    【关键词】核心素养;抛物线;新授课;教学策略

    【基金项目】本文为广州教育学会2019年教育科研课题《“说数学”运用于普通高中艺术特色学校新授课的实践研究》（课题批准号KTLX1201930015）的阶段性研究成果.

    一、引言

    《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“标准”）将数学核心素养定义为：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.以下以人教A版数学选修2-1（简称“教材”）的“抛物线及其标准方程”的新授课为例探究数学核心素养的培养策略.

    二、抛物线教学内容分析

    抛物线是紧跟在学生学习完椭圆、双曲线之后的第三类圆锥曲线.学生在学习椭圆、双曲线的过程中已对轨迹的概念、求轨迹方程的方法与步骤、标准方程的推导过程等有了较好的认识和理解.因此，椭圆、双曲线的相关学习对抛物线的学习起着重要的基础作用.高考中抛物线内容的考查较多出现在选择题或解答题上，主要考查抛物线的定义、标准方程和数形结合思想，对学生的数学抽象、数学运算能力有较高的要求.

    三、“抛物线及其标准方程”的新授课教学策略探究

    以下作者就抛物线新授课中的数学知识、教学过程、数学思维、情感态度与价值观等几个方面，结合数学核心素养的培养提出一些教学建议.

    （一）精心设计基础知识回顾，为新课学习打好基础

    维果茨基认为，教师在确定儿童发展水平及其教学时，必须考虑儿童的两种发展水平：一种是儿童现有的发展水平;另一种是在有指导的情况下借助成人的帮助可以达到的解决问题的水平，或是借助于他人的启发、帮助可以达到的较高水平.这两者之间的差距，即儿童的现有水平与经过他人帮助可以达到的较高水平之间的差距，就是“最近发展区”.

    在组织抛物线的新课学习之前，教师需要了解学生对椭圆、双曲线的知识掌握情况，例如，是否了解椭圆、双曲线的定义的文字描述，是否懂得推导轨迹方程或椭圆、双曲线的标准方程，能否熟练运用待定系数法求标准方程，能否掌握求轨迹方程的基本步骤，学生在初中学过的一元二次函数的图像也是抛物线，它和即将要研究的抛物线有什么异同等，即教师要了解学生的“现有发展水平”.只有了解了学生的“现有发展水平”，教师才能更好地设计、引导学生达到“可以达到的较高水平”.教师了解学生的知识水平的较好方式是精心设计回顾性练习题，让学生进行限时解答，教师再及时讲评，从而在复习“旧知识”的同时为学习“新知识”打好基础.为了提高抛物线的新课学习效果，教师可用以下习题作为回顾性练习，引发学生对旧知识的复习：

    1.到定点F（5，0）与到定直线l：x=95的距离之比为53的点M的轨迹方程为.

    2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：①焦点在x轴上，a=6，e=13;②长轴长等于20，离心率等于35.

    3.求适合下列条件的双曲线的标准方程：①焦点为（0，6），（0，-6），且经过点（2，-5）;②离心率e=2，经过点M（-5，3）.

    以上三道习题的难度不大，分别考查学生运用双曲线的定义、待定系数法求椭圆和双曲线标准方程的能力水平.

    （二）合理创设问题解决活动，推进新课的学习进程

    根据学习结果和学习过程这两个维度，知识的学习分为三个阶段：知识的习得阶段;知识的巩固和转化阶段;知识的迁移和应用阶段.在知识学习的三个阶段中，教师要充分发挥自己在课堂上的启发引导作用，打破学生的“心理平衡”，激發学生弥补“心理缺口”的动力.

    1.创设问题情境，引出定义

    教师可以创设以下情境：用几何画板软件画图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上的任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.点M的轨迹是什么曲线？你能发现点M满足的几何条件吗？

    几何画板软件操作可先由教师演示，学生观察动点M生成的轨迹.教师应让学生先独立思考，然后进行小组讨论.最后学生小组合作使用几何画板展开操作探究.学生对于点M所满足的几何条件进行猜想，并运用几何画板的“度量”等工具进行验证.接着教师请学生说出自己对这个问题的思考结果.在此基础上，教师引导学生用数学语言表达这个情境所反映的数学事实，慢慢地启发学生得出抛物线的定义.紧接着，教师再抛出问题：当点F在直线l上时，轨迹又是什么图形？学生通过思考和交流，进一步理解定点和定直线所必须满足的位置条件.

    上述得出抛物线定义的过程是一个数学抽象的过程，学生需要在教师的组织和引导下积极参与、动手操作，充分感受“水平数学化”的过程，即现实问题到数学问题的转化，是把情境问题表述为数学问题的过程，从而发展数学抽象素养.

    2.通过信息技术融合数学课程学习，感受几何图形的特征

    核心素养是人成功应对或完成某种实际活动所需要的“胜任力或竞争力”.因此上述探究过程不能简单处理，例如，不能让学生看看老师在电脑屏幕上的操作就代替了学生的动手操作，也不能让学生直接看教材或者PPT演示就算了.信息技术融合抛物线的新授课教学，有助于提高教师的教学效果和学生的学习质量.利用信息技术工具，学生可以直观地发现动点运动时所满足的几何条件、形成动点运动的原因、动点所形成的轨迹的形状等.这将有助于学生学会运用信息技术工具探究数学问题，感受数学思想方法，积累数学活动经验.

    若硬件条件允许，教师应让学生亲自使用电脑作图，起码是小组合作作图，运用几何画板软件绘制出符合条件的定点和定直线，观察动点的轨迹.学生可绘制多组不同的抛物线：开口向上、向下、向左、向右，甚至开口是倾斜的.同时，学生也可以观察到：定点与定直线之间的距离不同，得出的抛物线开口的大小也不同.在得出了抛物线的几何图形之后，教师需引导学生将抛物线与椭圆、双曲线进行对比，将三种圆锥曲线有机地联系起来.如此对比，有助于培养学生的几何直观能力，发展学生的直观想象素养.

    3.运用数学语言表述定义，推导标准方程

    首先，教师提示学生设抛物线的焦点到准线的距离为p（p>0），这就是抛物线方程中参数p的几何意义.其次，学生通过观察轨迹的形状，思考如何选择坐标系才是适当的.再次，由于选择不同的坐标系可以得出不同的抛物线标准方程，学生可以按照之前运用几何画板作图的分组，进行小组探究.小组讨论当抛物线的开口方向不同时，应如何设点列方程，整理出来的标准方程是怎样的，焦点和准线方程分别是什么，并以表格的形式进行归纳以便对比探究.

    数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.在抛物线标准方程的推导过程中，学生逐渐认识到：p是抛物线的焦点到准线的距离，因而p的值恒大于0.学生观察并分析标准方程中一次项系数与焦点横坐标、准线方程的常数项的关系.整个推导过程只需教师搭建适当的“脚手架”辅助学生推导即可，如设抛物线的焦点到准线的距离为p（p>0）、选择哪种建系方法需教师给予点拨.在前面的学习中，学生已经经历过椭圆、双曲线的标准方程的推导过程，抛物线的标准方程的推导运算相对简单.教师可以让学生亲自动手运算，小组讨论形成最终结果，绝不能由教师板书或者用课件演示来代替，毕竟这是发展学生数学运算素养的良机.

    4.强化变式练习，巩固新知

    推导出抛物线的标准方程之后，教师需进一步从“数”和“形”的角度强化学生对抛物线标准方程的认识.首先是对标准方程的结构的认识.与椭圆、双曲线的标准方程类似，如果抛物线在坐标平面内的位置，即“形”不同，那么，抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程的“数”的方面也会有很大的区别.其次是会运用待定系数法求抛物线的标准方程.学生需要通过完成系列变式练习了解抛物线的标准方程，而不是背诵标准方程本身.变式练习能够发展学生的数学运算素养.通过变式练习，学生能加深对抛物线基础知识的印象，进一步领会化归与转化的数学思想.

    5.通过课堂总结强调新知学习探究历程

    课堂总结不一定是教师直接给出，让学生被动接受，可以在教师的启发诱导下由学生说出来.这一节课的教学环节从复习基础性知识到情境引入，到新知学习，再到变式练习，整个流程较清晰.教师应引导学生提炼出本节课的新知识是什么，经历了什么过程，有哪些主要的数学思想方法，有什么感想和体会.教师通过课堂总结强调抛物线的标准方程（新知识）的发生、发展过程，强化其背后的数学思想方法极为重要！

    （三）通过信息技术融合课程学习活动，提高学生的数学思维能力

    数学实验本身是一种数学活动.学生通过小组合作或者独立运用几何画板软件，作出动点的轨迹（抛物线），再将数学事实用数学语言表达出来，然后转化得到抛物线的标准方程.这些都是充满数学思维能力的数学活动.数学活动需要学生的积极参与.学生只有亲自经历了数学活动，才能形成数学活动经验，提高数学思维能力.数学活动离不开教师的启发诱导，但不能被教师包办，需充分体现以教师为主导，以学生为主体的教学理念.

    （四）搭建“说数学”的交流平台，让学生在新授课的探究中品尝数学学习的成功感

    “说数学”是指个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想和方法以及数学学习情感、体会等的数学学习活动，是数学交流的重要形式之一.“说数学”可概括为“说知识”“说异见”“说过程”和“说体会”.新授课中运用“说数学”的教学策略，搭建师生交流、生生交流的平台，能较好地促进学生形成自我概念，增强学生的数学学习成功感.比如，教师展示学生的数学学习成果，让学生上讲台展示自己运用几何画板软件探究抛物线的形成情况，用实物投影仪展示学生的抛物线标准方程的推导过程和解题过程.讲台上的学生“说知识”“说过程”，臺下的学生“说异见”，教师对学生的课堂学习表现、数学知识掌握情况进行及时的激励性评价，激发学生的数学学习动机.学生在课堂小结中的“说体会”，能让学生形成积极的数学学习经验.如此的教学方式完全以学生为主体，通过学习成果展示促进师生、生生之间的数学交流，这样，学生在掌握抛物线的标准方程的同时，能深刻体会到抛物线的定义及方程的推导过程.因此，教师讲授过多、“满堂灌”的教学方式应通过“说数学”活动得到彻底改变.

    四、结语

    以上基于发展学生数学核心素养的发展视角，对抛物线的标准方程的新授课教学策略展开了探究，对教学设计、教学实施、教学活动、教学评价等环节提出了操作建议，这些建议较多属于思辨性成果，还需教学实践进一步检验.

    【参考文献】

    [1]徐章韬.数学单元小结课的认识及其教学设计[J].课程·教材·教法，2016，36（12）：61-65.

    [2]钟进均.基于语言学视角的“说数学”探究[J].数学通报，2013（3）：11-14，17.