在新课教学中进行数学抽象思维能力培养的研究

    姚春明

    

    

    【摘要】数学抽象思维能力的培养是核心素养下课堂教学研究的一个重要课题.教师应根据数学抽象思维发展的规律，运用学生认知结构的发展和认知心理的原理，遵循科学教学规律，确定策略和实施方案.实施数学抽象思维能力的培养有以下五个策略：1.循“序”渐进的策略;2.表征积累策略;3.要素突显策略;4.数学符号化、形式化策略;5.互化训练策略.

    【关键词】一核;四层;四翼;数学抽象思维;表征;数学符号化;数学形式化

    一、序言

    （一）抽象思维培养的意义

    教育部考试中心制定的《中国高考评价体系》一书，是指导高考的纲领，也是中学教学的指挥棒.高考评价体系主要由“一核”“四层”“四翼”三部分内容组成（如右图所示），其中的“四层”强调了抽象思维能力的重要性.

    （二）数学抽象思维发展的基本规律

    数学抽象思维的教学实施一般通过以下四个步骤完成：

    1.研究教材和教學内容;2.确定待抽象的数学事物即知识点、数学概念等;3.用数学符号或形式抽象地表示本质属性，建构抽象物的表征和图式;4.应用表征和图式进行数学推理分析，由抽象到具体，还原抽象物的数学本质，从而解决实际问题.

    本文以高中数学必修一（新教材）“集合”“对数函数”为载体，研究和实施数学抽象思维能力的培养.本文立足于抽象思维能力在高中数学教学中的实施，结合教学实际，从高处着眼，小处着手，研究日常教学中数学抽象思维能力的培养，以近期的教学内容为切入点，深入、具体地探究如何培养学生的抽象思维能力.

    二、新课中培养数学抽象思维能力的步骤与策略

    （一）研究教材和教学内容

    集合是抽象的，没有一个确切的定义（因为集合不能下定义），因此怎样让学生真正理解集合的概念需要教师动动脑筋.新编人教版的教材处理得非常得当，由具体到抽象，层层深入.对数的概念以及对数的运算比较抽象，学生很难理解，所以教师在教学时应该遵循认知规律，循序渐进，结合学生已有知识，从学生的最近发展区域出发，温故而知新.

    教材开篇即从小学和初中的认知开始，如，自然数的集合、同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等.然后教材提出“为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识”，接着以“1～10之间的所有偶数、立德中学今年入学的全体高一学生”等六个集合为例，给出集合的含义，然后阐述集合的有关概念以及元素与集合的关系，再引出表示集合的自然语言法、列举法、描述法等方法.集合的三种表示法中，描述法是最为抽象的，也是教学难点.对数概念的引入是从已学知识——指数开始的，通过多个特殊的求指数的值的实例，引出非特殊值如何求指数，让学生意识到这是一种新的运算，并由此引出对数的概念.

    （二）确定数学抽象分布的位置以及具体的待抽象的数学事物，即知识点、数学概念

    集合的描述法确定为待抽象的数学对象，教师教学时应遵循循序渐进的原则，从学生熟悉的一元一次不等式的解集入手.

    不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为

    {x∈R|x<10}.

    又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集，对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1（k∈Z）的形式，那么x除以2的余数为1，它是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么x除以2的余数为1，它能表示为x=2k+1（k∈Z）的形式.所以，x=2k+1（k∈Z）是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为

    {x∈Z|x=2k+1，k∈Z}.

    对数的意义和对数的表达形式是待抽象的数学对象.因为对数是一种新的运算和新的概念，所以教学宜从学生熟知的加、减、乘、除、乘方、指数的运算以及运算符号开始对比研究.学生已经学习过的基本运算有：加法运算、减法运算、乘法运算、除法运算，这四种运算的运算符号为：+，-，×，÷;开方运算也有运算符号，而且运算符号具有了结构性的特征，即根指数和被开方数的位置有明确的要求;至于乘方运算，它没有明显的运算符号出现，只是通过底数和指数的位置结构来表达;对数运算（概念）也是如此，并且表现形式更为抽象和复杂.

    （三）建构抽象物的表征和图式

    上面对概念的引入教材处理得很好，教师教学时应重视这个过程，不能跳跃得太快.例如，对“描述法”的教学，教师应启发学生对这个数学对象从结构上进行分析，以竖线为界，分析其结构和含义，体会和领悟用描述法表示集合的关键，然后给出“描述法”的说法，建构“描述法表示集合”的表征和图式，如教材所示：

    有时也用冒号或分号代替竖线，写成

    {x∈A：P（x）}或

    {x∈A;P（x）}.

    一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为

    {x∈A|P（x）}，

    这种表示集合的方法称为描述法.

    然后，教材应用表征和图式进行数学推理分析，解决问题.这里尊重教材，采用教材上的例2.

    例2

    试分别用描述法和列举法表示下列集合：

    （1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A;

    （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

    解：（1）设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为

    A={x∈R|x2-2=0}.

    方程x2-2=0有两个实数根2，-2，因此，用列举法表示为

    A={2，-2}.

    （2）设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为

    B={x∈Z|10<x<20}.

    大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为

    B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.

    解决问题之后做出表示集合的简化约定如下：

    我们约定，如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z可以省略，只写其元素x.例如，集合D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10};集合E={x∈Z|x=2k+1，k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1，k∈Z}.

    这样才初步达到“用数学符号或形式抽象地表示本质属性，建构抽象物的表征和图式，并应用表征和图式进行数学推理分析，解决问题”的目标.

    对数概念的引入同样遵循以上规律，首先探究和观察一组指数幂的运算，如下：

    2x=1，則x=0;

    2x=2，则x=1;

    2x=4，则x=2;

    2x=8，则x=3;

    2x=16，则x=4;

    2x=32，则x=5;

    2x=64，则x=6.

    第一步，对这七个特殊幂值进行探究知幂求指数的运算，学生很容易完成.

    第二步，设问：

    2的多少次方的值为5？

    即2x=5，则x=？①这个问题不妨让学生思考、讨论几分钟，学生可能有多种想法，例如开方求x的值等.

    第三步，揭示需要定义一种新的运算概念：log25，它表示“2的多少次方是5，即表示①式中的指数”，从而得到这种“求指数”的运算（概念），2叫作底数，5叫作真数，整个式子既表示这种运算，又表示这个运算的结果，即本身就是一个数值.

    第四步，将上面七个式子的指数也按这种对数形式表达，即：

    2x=1，则x=0，x记为log21;

    2x=2，则x=1，x记为log22;

    2x=4，则x=2，x记为log24;

    2x=8，则x=3，x记为log28;

    2x=16，则x=4，x记为log216;

    2x=32，则x=5，x记为log232;

    2x=64，则x=6，x记为log264.

    第五步，给出对数一般情况的概念：

    若ax=N，则x的值表示为logaN，

    读作“以a为底数N的对数”.

    这种式子以结构型的方式表达了这种求指数的运算，同时，整个式子也表示一个值，与幂类似.

    最后，探究对数中底数和真数的取值范围，也是从指数函数开始，即

    logaN中，a>0且a≠1，N>0.

    以上几步都是从学生的最近发展区指数开始探究，从特殊到一般，多个素材反复验证，逐步从实际需要引出对数概念，最后归纳出对数的结构特征和意义.

    （四）巩固与提高

    下面通过几个问题来帮助学生认知抽象物的本质.

    （1）指出下面四个集合各表示什么？

    ①A={x|y=x2+1};

    ②B={y|y=x2+1};

    ③C={（x，y）|y=x2+1};

    ④P={y=x2+1}.

    在学生充分思考、做出逐一判断之后，深入讨论，最后给出如下答案：

    ①A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A=R;

    ②B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y=x2+1≥1，因此B={y|y≥1};

    ③C={（x，y）|y=x2+1}表示满足y=x2+1的点（x，y）组成的集合，因此C表示函数y=x2+1的图像上的点组成的集合;

    ④P={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y=x2+1.

    下面继续通过指数与对数式的互化、对数求值等例题深化对抽象概念的理解，逐步过渡到应用水平，在这个过程中扎实培养抽象思维能力，并且让学生掌握研究未知领域的知识的思想、方法.

    （2）先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值.

    ①log2x=-2[]5;②logx3=-1[]3.

    （2）log31[]81等于（? ）.

    A.4??? B.-4??? C.1[]4??? D.-1[]4

    （3）方程2log3x=-4的解是（? ）。

    A.x=1[]9B.x=3[]3

    C.x=3D.x=9

    （4）已知logab=logba（a>0，且a≠1;b>0，且b≠1），

    试探究a与b的关系，并给出证明.

    解：a=b或a=1[]b.证明如下：

    设logab=logba=k，

    则b=ak，a=bk，所以b=（bk）k=bk2，

    因为b>0，且b≠1，

    所以k2=1，即k=±1.

    当k=-1时，a=1[]b;当k=1时，a=b.

    所以a=b或a=1[]b.

    三、结束语

    以上对集合的表示法的教学策略和过程，是根据数学抽象思维发展的规律，运用学生认知结构发展和认知心理原理，遵循科学教学规律制订的.对于对数概念的引入，是通过循“序”渐进、表征积累、要素突显、数学符号化、形式化、互化训练等一系列过程开展的，并成功地实施了该教学内容的数学抽象思维能力的培养.本文仅以此课为例，其他数学教学内容涉及抽象思维能力培养的，基本过程相似.

    【参考文献】

    [1]徐利治，王前.数学与思维[M].大连：大连理工大学出版社，2016.

    [2]普通高中教科书 数学 必修 第一册[M].北京：人民教育出版社，2019.