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浅谈极限概念的讲解与求解极限的几种方法

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刘铁宏

[摘要] 极限的概念是为求某些实际问题的精确解而产生的。很多实际问题的精确解仅通过有限次的运算是求不出的，而需要一个无限变化过程，由此产生了极限的理论与方法。极限是高等数学中最基本的概念，理解好极限概念是学习微积分的基础，只有掌握好函数与极限的基本知识，才能学好函数的连续性、导数、积分等内容。主要讨论极限概念的讲解以及求极限的常用方法。

[关键词] 极限概念；极限思想：极限求解

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）06-0149-01

极限理论和方法是研究微积分学的基本理论和方法，它是把无限与有限，运动与静止，量变与质变联系起来的一种数学方法，掌握好极限的思想方法是学好微积分学必备的基本功。因此，极限概念是一个极其重要的数学概念，也是一个不太好理解的数学概念，因为一方面是其定义用语抽象，另一方面，极限是用运动的观点来研究事物变化状态的。这对于习惯用静止的和孤立的观点学习数学的学生来说可能感到困难。因此在教学中应注意把极限的概念具体化，把求解极限的方法进行归类。

一、利用极限思想的广泛应用激发学生学习的积极性

极限思想在我国有着悠久的历史和十分广泛的应用。早在魏晋时期，数学家刘徽建立了“割圆术”，用已知的可求的正多边形的面积来无限逼近未知的、要求的圆的面积，使“有限”转化为“无穷”，这就是极限思想的产生。极限思想的产生在我国源远流长，极限思想被应用到各个领域中。积分学中的定积分、广义积分；绘图中的函数曲线的渐近线；物理学中的变力做功、液体压力、转动惯量等；经济领域中的市场学，如商品（不做广告）销售额衰减的规律是随时间t→∞，单位时间内的销售额R（t）→0，这是个严酷的事实，如储蓄问题中的复利计算、人口增长、林木的生长、固定资产的折旧、菌类的繁殖等都是遵循某个极限规律的。通过对这些应用的介绍，一定程度上激发了学生学习的积极性。

二、对极限概念的讲解尽量做到具体化

极限的定义很不好理解，毕竟这是学生第一次接触抽象的运动理论，因此利用贴近学生生活的案例来讲解会更能让他们理解。如美国影片《生死时速》中，当汽车的速度越接近50千米每小时，汽车上的乘客离死亡越近。对于这个内容，学生还是相当能够理解的，在此基础上我们再给出极限的定义以及极限中

两个变量的关系。另一方面也可以采取从个别到一般，从简单到复杂的归纳法讲述极限定义：（1）按字意做正面分析，如“无限增大”，“无限接近”，“确定的常数”等都要分别解释清楚；（2）做几何图直观解释，即通过数轴和图像来解释极限的含义；（3）做反面剖析，举一两个极限不存在的例子，然后紧扣极限的定义进行分析，以进一步理解极限的实质。这三个层次的讲解是相互协调的，不能机械地进行。通过这些现实和集合直观性帮助理解和分析，使学生对极限的概念有了深刻的理解和认识，也解决了这次课的教学难点。

三、归纳求解极限的方法使之系统化

（一）利用函数的连续性求极限

如果一个函数是连续的，那么这个函数的极限值就等于它在那一点处的函数值。

例1.■（■x2-2x+1）

解：∵函数y=■x2-2x+1是连续的

∴■（■x2-2x-1）=■×52-2×5+1=-4

（二）利用极限的四则运算法则求极限

例2.■■

解：■■=■■=■（x-1）=2

（三）利用无穷小的性质（无穷小与有界函数的乘积是无穷小）求极限

例3.■xsin■=0（因为■x=0，sin■≤1）。

（四）利用无穷小与无穷大的倒数关系求极限

1.■■=■■=■=■=0

2.求■■

因为■■=0

所以■■=∞

四、结语

本文从极限概念的讲解入手，利用函數的连续性、极限的四则运算法则、无穷小和无穷大的性质以及变量代换的方法给出几种求极限的方法，对学生掌握极限的求法有一定的帮助。

参考文献：

李娜.高等数学极限概念引入探究及极限求解方法[J].大学教育，2014（4）：60-63.

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