关注学生思维发展 引导学习能力提升

    周益秋

    [摘? 要] 在新时代背景下,竞争越来越激烈,学生不仅要具备扎实的基础知识,还要具备自主学习和终身学习的能力,那么,如何培养学生的学习能力呢?文章指出,在教学中要加强数学活动的积累,让学生在发现、探究、总结、反思等学习活动中不断成长和完善,从而形成学习能力.

    [关键词] 自主学习;终身学习;学习能力

    在数学教学中,部分教师往往重视知识的积累而忽视能力的提升,这就使得学生的解题能力和学习能力难以提升. 然而在新形势下,无论考试还是未来步入社会都需要学生具备较强的学习能力,那么作为基础学科的数学肩负着培养学生学习能力的重任,教师要为提升学习能力而教,学生要为提升学习能力而学,以此来推动学习能力的提升. 笔者就如何提升学习能力提出了几点自己的看法,仅供参考.

    在活动中发芽

    学生常感觉数学课是乏味无趣的,无法让其参与其中,究其原因大多是教师上课形式过于单一和保守,尤其在概念教学时更是重结论轻过程,无法激发学生学习的热情,为改变这一现象,在教学时加入数学活动往往会收到意外的惊喜.

    案例1? 无理数概念.

    师:已知在△ABC中,AC=BC=1,∠C=90°,求斜边AB的长.

    生1:很简单,根据勾股定理可知AB2=AC 2+BC 2,即AB 2=2,开根号取正得AB= .

    师:很好!那么 是整数吗?

    生齐声答:不是.

    师:如果用数轴来表示,你认为 在哪两个连续整数之间呢?(问题一出学生很快就得到了答案)

    生2: 应该是在1和2之间的某个位置.

    师:你是怎么判断的呢?

    生2:我是根据三角形三边关系得出的结论.

    师:很好! 可能是在整数1和2间的分数吗?如 , 等. (学生用平方法进行验证,发现其也不是分数)

    师:根据有理数的概念来判断,显然 不是有理数. 由1< <2,可知 是整数部分为1的小数,你能利用平方运算继续推理到十分位吗?(学生进一步推导发现1.4< <1.5,按照这个思路又推理了百分位)

    师:经过推理你发现 是有限小数还是无限小数呢?是循环小数吗?

    在无理数概念教学时,教师将文字概念转化成了若干问题,让学生通过观察、推理、验证来总结归纳概念. 通过问题引导,层层递进,带领学生一起探索新数的特点,当用原有概念无法包含新数时就需要进行扩充,充分展现了扩充数的必要性.

    在概念教学时,尤其对数的认识,教师习惯于通过举例的方式让学生直接进行概念的记忆,很少关注概念引入及概念的生成过程,致使学生对概念的理解仅停留于浅层的瞬时记忆,随着时间的推移,概念增多,因缺乏对过程的挖掘,往往容易混淆. 在概念的教学中,教师可以设计一些有个性的问题,让学生在推理和验证中去体验其生成过程,从而加深理解,将瞬时记忆转变为永久记忆,相信通过不断地积累和探索,学生的数学学习能力一定会有所提高.

    在解题中抽枝

    在数学教学中,因学生的思维方式不同,其解题思路往往有所差异,教师要多鼓勵、多引导,让学生进行多角度观察,从而让课堂百花齐放.

    案例2? 如图1,△ABC和△ADC都是直角三角形,其斜边为AC,∠B=∠D=90°,∠CAD=30°,∠CAB=45°,AB=BC=4 cm.

    (1)求AD,DC的长;

    (2)若点M,N分别从A点和C点同时以1 cm的速度向D点和B点运动,当N点运动到B点时,点M和点N同时停止运动,连接MN,求当点M和点N运动了x秒时,点N到AD的距离.

    题目解析:第(1)问根据勾股定理和三角函数公式容易得出答案,本题的难点是第(2)问,动点问题比较灵活,不同学生的解题思路往往可能不同,教师展示了学生的多种解法,通过不同的解法呈现不同的思维过程,以通过解法的多元化培养思维的灵活性和多样性,促能力提升.

    解法1 :如图2,过点N作NE⊥AD交AD于点E,作NF⊥DC交DC的延长线于点F,则NE=DF.

    因为∠ACD=60°,∠ACB=45°,所以∠NCF=75°,所以∠FNC=15°. 所以sin15°= ,又NC=x,所以FC= x,NE=DF= x+2 ,所以点N到AD的距离为 x+2 cm.

    解法2:如图3,过点N作NE⊥AD交AD于点E,作CH⊥NE交NE于点H. 其解题过程与解法1相同.

    解法3:如图4,过点N作NE⊥AD交AD于点E,延长NC,AD交于点G.

    因为∠CAD=30°,∠BAC=45°,所以∠BAG=75°,∠G=15°,所以sin15°= ,所以CG= ,所以NG= +x.

    在Rt△NEG中,sin15°= ,所以NE= x+2 ,所以点N到AD的距离为 x+2 cm.

    当然,解本题还可以应用其他方法,如图4,还可以利用△NEG与△CDG相似,根据其相似比进行求解. 通过一题多解不仅消除了学生在解决动点问题时产生的畏难情绪,也成功地调动了学生参与的积极性,课堂气氛活跃. 相同的解题思路不同的辅助线;相同的图形不同的思考方向,多角度观察,多方位思考,通过展现学生的思维过程不仅发散了学生的思维,也拓宽了学生的视野,其有利于提升学生的解题能力.

    在探索中成长

    探究是自主学习、独立思考的开始,通过探究可以更加深入地了解问题的本质,进而将知识转化为能力,从而实现学习能力的提升.

    案例3? 现有两个边长为a,面积为S的正n边形,将两个正n边形进行叠合,重叠部分的中心角为 ,那么此时两多边形重叠部分的边长是多少,面积又是多少呢?

    题目分析:此题没有指明多边形的边数,也没有给出图形,其中心角概念也未明确,因此,若想理清问题的来龙去脉需要进行探究,然而因不确定因素较多,学生感觉束手无策,探究的激情难以被激发,为此教师将题目进行了改编,以提高学生参与的热情.

    如图5,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是两个大小相同的正四边形,连接AC和BD交于点O,将四边形A′B′C′D′的顶点D′与点O重合,若四边形A′B′C′D′绕O点旋转.

    (1)此时重叠部分的中心角为多少度?

    (2)AE和BF,OE和OF,△AOE和△BOF是否存在什么关系呢?

    (3)S四边形OEBF 与S 有什么关系呢?

    (4)BE+BF的长度是否可求呢?值会如何变化呢?

    (5)重叠部分的面积是否可求呢?其值是否会随着A′B′C′D′旋转位置的变化而变化呢?

    通过对题目的改编,将抽象的问题拆分成了若干思路清晰、符合学生最近发展区的小问题,学生探究的热情被激发出来了,通过探究可以发现重叠部分的中心角为90°,即 (n=4);通过对下面问题的探究,学生得到了AE=BF,OE=OF,进而推导出△AOE与△BOF全等,同时也发现了S四边形OEBF 与S 的相等关系,因此可以得出重叠部分的面积为四边形ABCD面积的四分之一,那么该结论是否也适合其他图形呢?为了引导学生发现一般规律,教师继续进行引导.

    (6)如图6,设点O是边长为1的正方形的中心,现将一个圆心角为90°,半径大于1的扇形绕点O旋转,你会有什么发现呢?是否也可以得到上面的结论呢?

    问题(6)给出后,教师让学生进行分组交流,因有上面问题的铺垫,学生轻松地得出了与上面相同的结论.

    (7)如图7,设点O是边长为a的正三角形ABC的中心,△ABC的面积为S,现将一个圆心角为120°,半径大于a的扇形绕O点旋转,你又有什么发现呢?

    通过探究学生发现虽然形状发生了变化,然而其重合部分的线段CE+CD依然为多边形的边长,即a,其面积为 . 接下来,教师又引导学生自己尝试用其他多边形继续进行探究,学生又验证了五边形和六边形并得出了相同的结论.

    在教师的引导下,学生通过猜想经历了从特殊到一般的验证,从而得出了若圆心角为 时,则边重合的长度为定值,即多边形的边长,其面积为 . 就这样通过不断地类比、假设、推理,让学生在解决好最近发展区问题后,进行对一般问题的探究,从而总结出了一般规律. 在探究实践中需要教师的点拨与引导,也需要合作交流,更需要学生不畏艰难的精神,只有通过不断尝试、不断思考、不断总结才能勇攀高峰.

    在反思中结“果”

    任何探究结论的得出不仅需要探索,更需要总结和反思,只有经过反思才能将成功的经验进行有效总结从而形成解题方法,只有经过反思才能将错误再认识,从而走出思维的误区,实现新的突破.

    例如,在案例3中,教师通过问题的改编引导学生探究,若不引导学生反思,学生很难发现教师改编的意图,也就很难进行下面对正三角形和正五边形的探究,也就无法理解为什么将原来旋转的正方形转化为扇形,也就很难理解何为类比、何为转化、何为特殊到一般. 因此,在教学中,要多给學生一点时间进行自我反思和总结,鼓励其进行多角度、全方位的思考,进而充分发挥反思的力量,实现知识的再构造,使学生的认知更加完善和系统,从而提升学生自主解决问题的能力.

    总之,提升学生的学习能力需要问题的引导,借助小坡度的问题引导学生多角度观察、全方位思考,从而在问题的探究中形成良好的思维习惯和解题习惯.