网格非正交性对水流场模拟的影响
陈宇里++耿钊++陈晶++王丛佼++吴华锋
摘要：为减少在建立网格模型时出现的畸形网格单元导致的较大的计算误差，研究网格非正交性对水流场模拟的影响，建立多种正交性不同的四边形网格模型，设置边界并且施加激励进行水流场模拟实验，得到水流场特征值.依据真实水流场数据，对水流场流速矢量以及水位进行误差分析，得出水流场误差与网格非正交性具有正相关性，该研究可为流场模拟提供一定的参考，
关键词：有限元网格；非正交性；水流场
中图分类号：0351；TV131.2
文献标志码：A
0 引言
水流场仿真过程的主要工作量（约占50%-60%）在于网格建模，建模生成的网格品质是否达标，直接关系到后续工作的有效开展.目前，许多文献提出对网格品质进行优化的方案.文献[1-3]提出采用拓扑优化、删除狭长网格以及调整顶点几何位置的方法提高三角形网格的正交性及其他品质指标，但未提及四边形网格的正交性问题；文献[4-5]提出利用Laplacian方法与局部网格优化方法相结合的光滑技术使网格流型得到提高，然而网格流型性质的改善不能确保网格的正交性；文献[6]提出以变分形式的Winslow网格生成方法为基础，通过引入网格解扭机制和网格面积均匀化技术生成面积相对均衡的网格，然而网格面积均衡不能保证网格的正交性；文献[7]提出一个基于模板法的全四边形有限元网格的自动生成方案，然而利用模板法也不能保证网格的正交性，本文以四边形网格的正交性为研究对象，对不同程度的非正交网格进行建模与仿真，得到潮流误差随网格非正交程度改变的变化规律，作为业界判断网格品质是否符合工程要求的技术参考.
1 网格建模及边界激励
四边形网格本身具有良好的正交性，网格的计算精度比较高，故采用四边形网格模型对水流场进行建模.网格参数的设置包括单元格长度、网格数量和网格疏密程度，其中最重要的是单元格长度的确定，其值的大小直接影响网格的数量和疏密，一引为进行网格非正交性的误差分析，以浙江乐清湾半开阔水域为研究对象，采用栅格法建模，见图1.
以网格与海接触的边界作为水流场施加激励的开边界，与陆地接触的边界设为闭边界，沿闭边界垂直于海岸的流通量等于零，即
Vn=O
（1）式中：V=（μ，v），n是指向边界外的单位法向量，
沿开边界曲线采用水位激励，满足式中：Ai，σi，gi和vi分别为第i个分潮的振幅、角频率、迟角和初位相角；μi为第i个分潮交点因子及交点的改正角.以潮水的4个主力分潮为激励施加的条件，具体参数见表1（数据来源于国家海洋局分潮参数数据）.
施加激励后，水体流动通过网格传递，使用交替方向隐式（Alternating Direction Implicit，ADI）方法交错网格的差分模型，波动方程如下：
2 网格模型的非正交化测试
2.1 不同程度正交性网格的建模
通过扭曲网格，改变网格的正交性，降低网格品质，研究网格正交性与水流场仿真计算的关系，将网格分别沿顺时针和逆时针方向旋转15度，30度，45度，见图3.为确保计算范围的广度、精度，以及计算量的适中，网格规模为50xl00，平均单元格边长为0.7nm，保证网格的激励施加条件完全相同，所设置的其他条件参数也相同（如所处区域的经纬度、重力加速度、海水密度以及海底的糙率等），以此避免其他条件不同产生的误差.
2.2 不同网格模型仿真的误差验证
观测点是为数据输出专门设置的位置点，由此验证该位置的水流场仿真结果，如流速、流向、流量大小、水位高低以及能量大小等多组数据.验证环节选取3个关键观测点，提取数据中的流速、流向以及水位数据，进行分析对比.流速、流向的验证选取3个观测点所在观测站的流速矢量数据，水位验证选取潮位站浙江黄大岙的水位数据，观测点和验证点的位置见图4.
3 非正交性对仿真的影响分析
不同网格生成不同的流场分布特征信息.对流速矢量和水位数据进行统计分析，并计算得到误差值以描述网格正交性对水流场模拟的影响.
3.1 对流速矢量仿真影响的分析
流场模拟结束后，从3个观测点的流场数据中提取半个月每小时的流速矢量信息，流速矢量由经向速度分量u和纬向速度分量v组成，将半个月每小时的流速数据等间隔提取后做统计分析，并且与观测点所在观测站的真实流速矢量数据进行对比，每点既有水流的速率，又有水流的方向.图5为不同正交性网格模型在观测点C的流速矢量计算结果，
图5中原点为观测点C所在位置，坐标轴为正南北方向.连接坐标原点与各点成线，代表某一时刻的流速大小和方向：点（8）为观测站的真实流速数据；点（7）为初始正交网格流速数据；点（1）和（6）为网格扭曲45 0时的流速数据；点（2）和（5）为网格扭曲300时的流速数据；点（3）和（4）为网格扭曲15度时的流速数据.
图5中数据点的趋势可以反映水流往复运动的流速.从误差分析结果可以得到：网格扭曲具有对称性；没有发生扭曲的网格，流向和流速误差分别为5.7%和10.1%，随着扭曲程度的不断增大，误差不断增大；网格发生扭曲对流速的影响更大，当网格扭曲角为45度时，流速误差已超过真实值两倍，见图6.
3.2 对潮位仿真影响的分析
根据在观测点C获取的水位数值（2014年7月17日至9月17日），生成两个月内每半个小时水位涨落数据.图7是根据没有发生扭曲的网格生成的水位数据绘制而成的.
由图7可知，一个月有两次大潮和两次小潮，一天有两次高潮和两次低潮，其中较高的一次高潮称为高高潮，较低的一次低潮称为低低潮.提取每天高高潮和低低潮数值，对水位数据进行误差分析，并与乐清湾水域观测点附近浙江黄大岙潮位站数据进行对比，见图8.
图8中，虚线代表潮位站高高潮和低低潮时刻数据，实线代表采用不同扭曲程度网格模拟得到的在相同时间高高潮和低低潮时刻数据，由图8可以得出，扭曲角相同时，两条曲线几乎重叠，因此可以得出对称性良好，分别求取高高潮误差和低低潮误差，并求取平均水位误差，见图9.从误差分析结果可知：水位误差也随扭曲角的增大而增大；高潮时误差要稍微小于低潮时的误差；水位误差在扭曲角为O-15度和30-45度时的变化不大，在扭曲角为15-30度时变化显著.
由此可以得出网格正交性与水流场模拟的正相关关系，网格正交性变差时，水流场的模拟效果变差，网格扭曲在10度以内，可以保证水流场的总体特征值误差在20%左右，在某些工程领域可以满足要求，但对于要求水流场模拟效果较好的领域，网格的精细程度需要进一步优化.
4 结论
为研究网格正交性对水流场模拟的影响，建立7种不同扭曲角的网格模型，运用波动控制方程求解，计算观测点的流速和水位值，对生成的大量数据进行处理，最终找出网格扭曲角与水流场计算误差关系：随着扭曲角的增大，流速和水位误差逐渐增大，增大的幅度有所不同，以此得到网格正交性与水流场模拟的定量的正相关关系.
本文的结论在一定程度上可以协助潮流仿真人员在网格的正交性、网格疏密程度、网格数量和长度、计算工作量以及计算误差这几个要素中找到一个恰当的兼顾点，在误差允许的范围内尽量减少工作量，并使网格的正交性与网格贴合程度保持良好，以达到综合最优的效果，
参考文献：
[l]刘瑞刚，张俊安，程丹，等.采用拓扑和几何调整的球面三角网格质量优化[J].工程图学学报，2008（6）：113-117.
[2]王群，李爱平，马淑梅.局部网格狭长三角形的品质改善及实现[J].同济大学学报（自然科学版），2004，32（11）：1508-1511.
[3]RIVARA M C，HITSCHFELD N，SIMPSON B.Terminal-edges Delaunay（small-angle based）algorithm for the quality triangulation（small-angle
based） algorithm f'or the quality triangulation prohlem[J].Computer Aided Design，2001，33（3）：263-277.
[4]FREITACL，JONES M，PLASSMANN P.A parallel algorithm for mesh smoothing[J].SIAM Journal on Scientific Computing，1999，20（6）：2023-2040.
[5]宫翔飞，张树道.Laplacian与局部优化方法相结合的网格光滑技术[J].北京理工大学学报，2010，30（5）：616-621.
[6]姚彦忠，王瑞利，袁光伟.复杂区域上的一种结构网格生成方法[J].计算物理，2007，24（6）：647-654.
[7]陈建军.基于模板法的全四边形有限元网格生成器的研制及网格质量的几何优化[D].杭州：浙江大学，2003.
摘要：为减少在建立网格模型时出现的畸形网格单元导致的较大的计算误差，研究网格非正交性对水流场模拟的影响，建立多种正交性不同的四边形网格模型，设置边界并且施加激励进行水流场模拟实验，得到水流场特征值.依据真实水流场数据，对水流场流速矢量以及水位进行误差分析，得出水流场误差与网格非正交性具有正相关性，该研究可为流场模拟提供一定的参考，
关键词：有限元网格；非正交性；水流场
中图分类号：0351；TV131.2
文献标志码：A
0 引言
水流场仿真过程的主要工作量（约占50%-60%）在于网格建模，建模生成的网格品质是否达标，直接关系到后续工作的有效开展.目前，许多文献提出对网格品质进行优化的方案.文献[1-3]提出采用拓扑优化、删除狭长网格以及调整顶点几何位置的方法提高三角形网格的正交性及其他品质指标，但未提及四边形网格的正交性问题；文献[4-5]提出利用Laplacian方法与局部网格优化方法相结合的光滑技术使网格流型得到提高，然而网格流型性质的改善不能确保网格的正交性；文献[6]提出以变分形式的Winslow网格生成方法为基础，通过引入网格解扭机制和网格面积均匀化技术生成面积相对均衡的网格，然而网格面积均衡不能保证网格的正交性；文献[7]提出一个基于模板法的全四边形有限元网格的自动生成方案，然而利用模板法也不能保证网格的正交性，本文以四边形网格的正交性为研究对象，对不同程度的非正交网格进行建模与仿真，得到潮流误差随网格非正交程度改变的变化规律，作为业界判断网格品质是否符合工程要求的技术参考.
1 网格建模及边界激励
四边形网格本身具有良好的正交性，网格的计算精度比较高，故采用四边形网格模型对水流场进行建模.网格参数的设置包括单元格长度、网格数量和网格疏密程度，其中最重要的是单元格长度的确定，其值的大小直接影响网格的数量和疏密，一引为进行网格非正交性的误差分析，以浙江乐清湾半开阔水域为研究对象，采用栅格法建模，见图1.
以网格与海接触的边界作为水流场施加激励的开边界，与陆地接触的边界设为闭边界，沿闭边界垂直于海岸的流通量等于零，即
Vn=O
（1）式中：V=（μ，v），n是指向边界外的单位法向量，
沿开边界曲线采用水位激励，满足式中：Ai，σi，gi和vi分别为第i个分潮的振幅、角频率、迟角和初位相角；μi为第i个分潮交点因子及交点的改正角.以潮水的4个主力分潮为激励施加的条件，具体参数见表1（数据来源于国家海洋局分潮参数数据）.
施加激励后，水体流动通过网格传递，使用交替方向隐式（Alternating Direction Implicit，ADI）方法交错网格的差分模型，波动方程如下：
2 网格模型的非正交化测试
2.1 不同程度正交性网格的建模
通过扭曲网格，改变网格的正交性，降低网格品质，研究网格正交性与水流场仿真计算的关系，将网格分别沿顺时针和逆时针方向旋转15度，30度，45度，见图3.为确保计算范围的广度、精度，以及计算量的适中，网格规模为50xl00，平均单元格边长为0.7nm，保证网格的激励施加条件完全相同，所设置的其他条件参数也相同（如所处区域的经纬度、重力加速度、海水密度以及海底的糙率等），以此避免其他条件不同产生的误差.
2.2 不同网格模型仿真的误差验证
观测点是为数据输出专门设置的位置点，由此验证该位置的水流场仿真结果，如流速、流向、流量大小、水位高低以及能量大小等多组数据.验证环节选取3个关键观测点，提取数据中的流速、流向以及水位数据，进行分析对比.流速、流向的验证选取3个观测点所在观测站的流速矢量数据，水位验证选取潮位站浙江黄大岙的水位数据，观测点和验证点的位置见图4.
3 非正交性对仿真的影响分析
不同网格生成不同的流场分布特征信息.对流速矢量和水位数据进行统计分析，并计算得到误差值以描述网格正交性对水流场模拟的影响.
3.1 对流速矢量仿真影响的分析
流场模拟结束后，从3个观测点的流场数据中提取半个月每小时的流速矢量信息，流速矢量由经向速度分量u和纬向速度分量v组成，将半个月每小时的流速数据等间隔提取后做统计分析，并且与观测点所在观测站的真实流速矢量数据进行对比，每点既有水流的速率，又有水流的方向.图5为不同正交性网格模型在观测点C的流速矢量计算结果，
图5中原点为观测点C所在位置，坐标轴为正南北方向.连接坐标原点与各点成线，代表某一时刻的流速大小和方向：点（8）为观测站的真实流速数据；点（7）为初始正交网格流速数据；点（1）和（6）为网格扭曲45 0时的流速数据；点（2）和（5）为网格扭曲300时的流速数据；点（3）和（4）为网格扭曲15度时的流速数据.
图5中数据点的趋势可以反映水流往复运动的流速.从误差分析结果可以得到：网格扭曲具有对称性；没有发生扭曲的网格，流向和流速误差分别为5.7%和10.1%，随着扭曲程度的不断增大，误差不断增大；网格发生扭曲对流速的影响更大，当网格扭曲角为45度时，流速误差已超过真实值两倍，见图6.
3.2 对潮位仿真影响的分析
根据在观测点C获取的水位数值（2014年7月17日至9月17日），生成两个月内每半个小时水位涨落数据.图7是根据没有发生扭曲的网格生成的水位数据绘制而成的.
由图7可知，一个月有两次大潮和两次小潮，一天有两次高潮和两次低潮，其中较高的一次高潮称为高高潮，较低的一次低潮称为低低潮.提取每天高高潮和低低潮数值，对水位数据进行误差分析，并与乐清湾水域观测点附近浙江黄大岙潮位站数据进行对比，见图8.
图8中，虚线代表潮位站高高潮和低低潮时刻数据，实线代表采用不同扭曲程度网格模拟得到的在相同时间高高潮和低低潮时刻数据，由图8可以得出，扭曲角相同时，两条曲线几乎重叠，因此可以得出对称性良好，分别求取高高潮误差和低低潮误差，并求取平均水位误差，见图9.从误差分析结果可知：水位误差也随扭曲角的增大而增大；高潮时误差要稍微小于低潮时的误差；水位误差在扭曲角为O-15度和30-45度时的变化不大，在扭曲角为15-30度时变化显著.
由此可以得出网格正交性与水流场模拟的正相关关系，网格正交性变差时，水流场的模拟效果变差，网格扭曲在10度以内，可以保证水流场的总体特征值误差在20%左右，在某些工程领域可以满足要求，但对于要求水流场模拟效果较好的领域，网格的精细程度需要进一步优化.
4 结论
为研究网格正交性对水流场模拟的影响，建立7种不同扭曲角的网格模型，运用波动控制方程求解，计算观测点的流速和水位值，对生成的大量数据进行处理，最终找出网格扭曲角与水流场计算误差关系：随着扭曲角的增大，流速和水位误差逐渐增大，增大的幅度有所不同，以此得到网格正交性与水流场模拟的定量的正相关关系.
本文的结论在一定程度上可以协助潮流仿真人员在网格的正交性、网格疏密程度、网格数量和长度、计算工作量以及计算误差这几个要素中找到一个恰当的兼顾点，在误差允许的范围内尽量减少工作量，并使网格的正交性与网格贴合程度保持良好，以达到综合最优的效果，
参考文献：
[l]刘瑞刚，张俊安，程丹，等.采用拓扑和几何调整的球面三角网格质量优化[J].工程图学学报，2008（6）：113-117.
[2]王群，李爱平，马淑梅.局部网格狭长三角形的品质改善及实现[J].同济大学学报（自然科学版），2004，32（11）：1508-1511.
[3]RIVARA M C，HITSCHFELD N，SIMPSON B.Terminal-edges Delaunay（small-angle based）algorithm for the quality triangulation（small-angle
based） algorithm f'or the quality triangulation prohlem[J].Computer Aided Design，2001，33（3）：263-277.
[4]FREITACL，JONES M，PLASSMANN P.A parallel algorithm for mesh smoothing[J].SIAM Journal on Scientific Computing，1999，20（6）：2023-2040.
[5]宫翔飞，张树道.Laplacian与局部优化方法相结合的网格光滑技术[J].北京理工大学学报，2010，30（5）：616-621.
[6]姚彦忠，王瑞利，袁光伟.复杂区域上的一种结构网格生成方法[J].计算物理，2007，24（6）：647-654.
[7]陈建军.基于模板法的全四边形有限元网格生成器的研制及网格质量的几何优化[D].杭州：浙江大学，2003.
