巧借“等高线”妙解函数题

    赵哲

    

    

    [摘 要]类比地理学科中的“等高线”，巧妙借助函数的“等高线”，解决函数或方程中有关交点横坐标、参数值或零点等问题，破解问题的关键是借助函数的图像与性质进行数形结合.

    [关键词]等高线;函数;数形结合

    [中图分类号]? ? G633.6? ? ? ? [文献标识码]? ? A? ? ? ? [文章编号]? ? 1674-6058（2021）14-0032-02

    一、利用“等高线”的对称性巧求交点横坐标之和

    分析：根据奇函数的性质以及已知的抽象函数递推关系式得以确定函数的周期，进而利用已知条件作出函数[f（x）]在一个周期内的图像，结合周期性加以拓展，通过数形结合加以直观分析，利用“等高线”的对称性进行分析与求解.

    点评：根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性是问题的切入点，而借助函数的图像加以数形结合是解题的关键，利用“等高线”的对称性是解题的重点.巧妙利用“等高线”的对称性来求值，可以有效转化参数的不确定性带来的影响，方便求值.

    二、利用“等高线”的等高性巧求交点横坐标之积

    三、利用“等高线”的性质巧求参数的取值范围

    点评：涉及函数的零点或方程的解的个数的参数问题，往往都可以转化为一个熟知的基本初等函数与一条直线问题，利用函数的图像加以数形结合，利用“等高线”的性质来分析与处理与参数的最值、取值范围等有关的数学问题.经常采用的破解策略有分离参数法、数形结合法等.

    巧妙借助函数的“等高线”来解决一些相关的函数问题时，往往要通过合理转化，把对应的函数问题或方程问题转化为两个熟悉的函数图像（其中往往有一个是直线，即为对应的函数的等高线）的交点情况问题，借助函数的图像与性质加以数形结合，從而得以破解相应的函数或方程问题.

    [? ?参? ?考? ?文? ?献? ?]

    [1]? 蒋满林，潘凌.巧用等高线 妙解高考题[J].数理化学习（高中版），2019（2）：22-23.

    [2]? ?江战明.隐藏在平面向量基本定理中的一朵“奇葩”：等高线[J].数学通讯，2017（12）：35-38.

    （责任编辑 陈 昕）