“分数（百分数）”问题与“比（比例）”问题的对比

    彭盛梅

    

    “分数（百分数）”问题和“比（比例）”问题，是小学阶段“数与代数”领域解决问题的最后两座高峰，也是部分学生望而却步的难题之一。其实，这两类问题外部形态虽然不同，但其本质却同根同源。把“分数（百分数）”问题和“比（比例）”问题联系起来学习，会对这两类问题的理解更加深刻，提高学习效率。

    一、问题的本质

    要把分数（百分数）”和“比（比例）”这两类问题进行有联系的学习，首先要弄清楚它们的数学本质。

    1.它们都是从“量”的刻画到“率”的刻画的演进。在客观世界中，用“量”刻画事物的结果，是具体的、一定的，它描述的是事物的绝对状况;而用“率”刻画事物的结果，是模糊的、变化的，它描述的是事物的相对状况。既然用“量”可以反映事物的绝对状况，何必再用“率”来描述一个相对状况呢？举个简单的例子就明白了：一次动物园的意外火灾中，小浣熊和大象都被烧伤了，小浣熊的皮肤烧伤面积为3.6平方分米，大象的皮肤烧伤面积为9平方分米。两周以后，大象康复了，小浣熊却因为严重烧伤而死亡。如果单从“量”的角度来考虑，就会给人大象的烧伤状况更严重的错觉;而从“率”的角度来考虑，就非常容易理解——大象皮肤的烧伤面积占皮肤总面积不足1%，而小浣熊皮肤的烧伤面积却占到了皮肤总面积的20%以上。所以，小浣熊的烧伤程度更严重。因此，“分数（百分数）”和“比（比例）”这两类问题安排在小学六年级，就是帮助学生实现从“量”的刻画到“率”的刻画的思维发展。

    2.它们都是基于“标准数量”的“倍比”应用。在“分数（百分数）”问题中，“分率”的本质是两个数量之间基于某个共同的标准数量而互相比较的对比结果。如，苹果有6千克，梨有4千克，把每2千克看作一份，苹果有这样的3份，梨有这样的2份，我们就可以表述为：梨是苹果的，或者苹果是梨的。可见，在有关“分率”的两个量的比较中，是以它们的最大公因数作为一份来进行重新计数，然后按照份数来进行比较从而得到“分率”的。“比（比例）”问题也同样如此，它也是表示两个数量之间的倍比关系，但是它更加简洁，它是直接以自然数“1”作为计数标准，并且份数允许存在小数。由此看来，“分率”和“比”的本质根源是相同的。

    3.“比”更兼具“量”“率”同存的双重身份。如，在配置一种药水的过程中，药与水的比是1∶90，这里的“1”和“90”，既可以看作具体的量，也可以看作一个抽象的份数。从某种程度上可以说，“比”是“率”的升级版表现形式，表达更为简洁。

    二、二者的区别

    纵如上文所言，“率”与“比”同根同源、本质相同，但也不能完全把它们混为一谈。它们之间还是有显著的差别：

    1.“率”更侧重于“数”的概念应用。在“分数（百分数）”问题中，“分率”始终是作为一个“数”而存在的，它的具体含义非常类似于整数的“倍”。于是，学生在学习这类问题的时候，才有了“求一个数的几分之几是多少？”与“求一个数的几倍是多少？”相类似的自我构建思维过程。它需要先确定谁是单位“1”的量，相当于“倍数”问题中，需要先确定谁是“一倍数”。

    2.“比”更侧重于数量之间的关系应用。它不需要确定以谁为“标准”，只要两种量在不同具体情况中的比较具有相似性，就可以利用这种关系来解决实际问题。如，用3千克甘蔗可以榨出1.8千克糖，照这样计算，4.5吨甘蔗可以榨出多少吨糖？我们不需要确定以谁为“标准”——也就是甘蔗的量和糖的量中，不存在主从关系，甚至不需要统一单位就能解决问题。解：设可以榨出吨（千克）糖1.8∶3=x∶4.5、3∶1.8=4.5∶x、1.8∶3=x∶4500（4.5吨=4500千克）都可以解决实际问题。

    三、二者的相通之处

    “分数（百分数）”和“比（比例）”这两类问题尽管外在形态各异，本质却相同。因此，在实际运用中把这两类问题联系起来学习，就能收到事半功倍之效。

    1.两类问题的互相转换。既然“分数（百分数）”和“比（比例）”这两类问题本质相同，就可以在解决实际问题当中互相转换，一题多解。

    如，清河乡今年植树400棵，比去年多植。去年植树多少棵？

    分数解法：400÷（1+）=320（棵）。

    比例解法：由题目可知，今年与去年植树的棵数比为5∶4。

    解：设去年植树x棵。

    400∶x=5∶4，解得x=320。

    或x∶400=4∶5，解得x=320。

    受到比例解法中不需要确定谁为“标准”的启发，其实分数解法中也可以任意切换单位“1”。如果把今年的植树棵数看作单位“1”，题目也可以转换为“去年比今年少植”。

    解为：400×（1-）=320（棵）。

    2.两种解法的恰当选择。从上面的例子可以看出，“分数（百分数）”和“比（比例）”這两类问题的解法是相通的，可以互相转换。所以，在遇到具体问题的时候，教师可以随机应变，恰当选择解题的方法，提高解题效率。如，山羊和绵羊共有210只，其中山羊的只数是绵羊的，山羊和绵羊各有多少只？

    分数解法一：把绵羊只数看作单位“1”。

    解：设绵羊有x只。x+x=210，解得x=120，210-120=90（只）。

    分数解法二：把山羊只数看作单位“1”。

    解：设山羊有x只。x+x=210，解得x=90，210-90=120（只）。

    分数解法三：把总只数看作单位“1”。

    4+3=7，山羊：210×=90（只），绵羊：210×=120（只）。

    比例解法：由题意可知山羊与绵羊的数量比为3∶4。

    比例解法一：

    解：设绵羊有x只。3∶4=（210-x）∶x，解得：x=120，210-120 =90（只）。

    比例解法二：

    解：设山羊有x只。3∶4=x∶（210-x），解得：x=90，210-90 =120（只）。

    比例解法三：

    解：设绵羊有x只。4∶（3+4）=x∶210，解得：x=120，210-120 =90（只）。

    比例解法四：

    解：设山羊有x只。3∶（3+4）=x∶210，解得：x=90，210-90 =120（只）。

    综上所述，“分数（百分数）”和“比（比例）”这两类问题形态各异，但本质相通。在解答具体问题的时候，可以进行互相转换。把两类问题联系起来一起学习，不但能提高效率，而且能帮助学生加深对这两类问题的理解、沟通，提高学生的思维品质。