关于数学高效课堂的几点思考：把思考和展示的时空让给学生

    闵晓颖

    [摘? 要] 基于数学学科本身的高效数学课堂就是要让教学活动更有意义，那么针对这一点，课堂中学生思考和展示的过程是必不可少的. 文章认为，数学课堂需要将思考的时空留给学生，把展示的平台让给学生，从而为学生提供更有意义的引领，让意外生成精彩，创建优质高效的数学课堂.

    [关键词] 高效课堂;思考;展示;意外

    传统数学教学模式注重知识本身的传授，很少顾及知识的本质. 新课程标准实施以来，各种教学模式不断涌现，数学课堂处处充斥着传统教学方法与现代教学方式的冲突，但无论如何革新，始终离不开“高效”这个中心. 然而，随着新课程改革的推进，“高效课堂”在实践中暴露出越来越多的问题，尽管其他学科教育也存在一些问题，但都没有数学教育领域的争论激烈，这在一定程度上说明数学高效课堂与数学学科的性质具有根本的关联. 因此，只有从数学学科本身进行思考，深入分析数学本质，才能找寻到打造数学高效课堂的方法，从而解决教学低效的问题，为数学教育改革理清方向. 那么，如何创建高效课堂？如何提升教学质量？笔者认为应当从以下几方面着手.

    将思考的时空留给学生

    在一些赛课或公开课的课堂上，我们经常会看到这样一个现象：教师刚一提出问题，立刻就请学生回答，师生交流互动流畅自如，学生往往对答如流，课堂气氛活跃，煞是好看. 但仔细想来，这样的课堂中学生的思考时空在哪里？大多数学生都能经历思考吗？大部分学生都能准确而有效地回答问题吗？答案显然是否定的，很多时候这仅仅是学优生与教师的“表演”罢了. 现代教学理论认为，教学过程需要关注到学生的课堂达成度，并非仅仅追求教学内容的完整. 因此，在抛出问题后，教师应当有所作为，不仅需要将思考的时空留给学生，还需要以教学机智引导学生的讨论交流，让课堂教学变得更有活力，让学生的学习能力自然提升，从而为高效课堂的形成创造条件.

    例1? 如图1，一日有两艘搜救船A和B位于某海域，正自西向东进行搜救，此时B正处在A的正东方向，两船距离20海里. 当两船同一时刻测出A船东北方向和B船北偏东15°方向有疑似物C，试求出这一时刻疑似物C与A船和B船的距离各是多少.

    师：大家读题后，是否有思路？哪位同学愿意说一说你的解题思路呢？

    生1：可以作CE垂直于AB的延长线，垂点为E，得出∠CBE=75°. 但75°并非特殊角，在题中也并未给出任何参考数据，所以我觉得这样的解法好像有问题. （学生开始小声讨论，有的低头作图）

    师：从生1的解法来看这种辅助线似乎行不通，我们是否可以尝试其他思路，找到让三角形中呈现特殊角的辅助线呢？（学生又一次进行思考，有的擦去辅助线重新尝试作新的辅助线，有的小声讨论）

    生2：如图1，作BE⊥AC于E. 在Rt△ABE中，有∠BAE=45°，AB=20，据sin45°= ，可得AE=BE=10 . 在Rt△CBE中，有∠CBE=60°，∠C=30°，据sin30°= ，可得BC=2BE=20 ，据tan60°= ，可得EC= BE=10 ，所以AC=10 +10 ，BC=20 .

    设计说明? 具体来说，教师需摒弃传统的教学模式，谋划新课程教学的呈现方式，以一个开放的、活泼的、和谐的探究过程来促进学生的思考和交流，才能活化学生的思维，提升学生的学习能力，保证课堂教学的顺利进行，切实提升教学效率，从而为打造高效课堂提供有效保障.？摇

    把展示的平台让给学生

    数学学习在本质上就是一个又一个发现、提出和解决数学问题的过程，所以，当前高效课堂下的教学流程改变了传统教学环节中“满堂灌”的模式，体现了“以人为本”的理念. 让学生合作交流其实是传统教学的升华，强调了能力的发展. 而在合作交流过程中，学生可以有机会暴露自身的困惑和质疑，并通过讨论的形式解决问题. 经常让学生展示自身的思维，为学生创造展示的平台，不仅有助于其概括能力的培养，有助于认知的深化和语言表达能力的提升，同时也是教师了解学生的有效途径，可以及时发现学生思维的偏差和不足，从而给予针对性训练.

    例2? 如图2，已知抛物线y=ax2+bx-4a过点A（-1，0）和C（0，4），且与x轴另交于一点B.

    （1）试求出抛物线的解析式;

    （2）若抛物线上的点D（m，m+1）位于第一象限，试求出该点关于直线BC对称的点的坐标;

    （3）在（2）的条件下，连接BD，且抛物线上的一点P满足∠DBP=45°，试求出点P的坐标.

    上例中前两问难度较小，学生易得出抛物线的解析式为y=-x2+3x+4，点D的坐标为（3，4）. 而第（3）问有着多种解法，学生有了足够的思考时间，自然呈现了以下多样化的解法.

    解法1：由∠DBP=45°，可联想作PF⊥x轴，又因为C（0，4），B（4，0），可得∠CBA=45°，则∠DBP=∠CBA，所以∠PBF=∠DBC.

    如图2，作DE⊥BC，则△BFP∽△BED，所以 = . 根据题意，易求得BE=? ，DE=? . 又因为P点是抛物线上的一点，设P（m，-m2+3m+4），所以PF=-m2+3m+4，BF=4-m，所以 = ，所以m = - ，m =4（舍去），所以P- ， .

    解法2：如图3，作DE⊥BC，据∠DBE=∠PBA，可得△BOM∽△BED，所以 = . 由BE=? ，DE=? ，OB=4，易求出OM= ，所以M0， . 设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M0， ，B（4，0），即可得出直线BM的解析式为y=- x+ ，可得 - x+ =-x2+3x+4，解得P- ， .

    设计说明? 以上问题的设计旨在给学生思考的时空，训练学生的探究能力，给予展示的平台，创造抽象的氛围. 学生思维的闪光点让笔者甚是欣慰，由此可见，善于思考是人性之本，思维的深化在潜移默化之中. 数学學科对学生思维能力要求高，学生的数学思维需要经历长期训练才能形成. 教师心中装载着“以生为本”的理念，充分为学生提供展示和体验的机会，让学生经历“火热的思考”和“畅快地表达”，切实体验到思维的乐趣，并形成积极思维的习惯，数学素养的培养也就落地生根了，这也是高效数学课堂所追求的终极目标.

    让意外生成精彩

    孙子兵法中“不打无准备之仗”，数学教学也是如此，备课时教师需做到面面俱到，考虑到不同学生的思考方式，考虑好面对不同思维的应对方式等. 只有这样，才能在课堂教学中应付自如. 当然，课堂中也有一些意外是教师难以预料的，是在教师出其不意的情况下发生的，面对这样的情形教师不能置之不理，而应将其视为一种难得的生成性资源，把握住富有价值的教育契机，利用自身的教学机智从容应对和化解课堂意外，让意外生成精彩，打造高效数学课堂.

    例3? 如图4，已知动点P在等腰三角形ABC的底边BC上，且CF⊥AB，PD⊥AB，PE⊥AC.

    （1）证明：PD+PE=CF;

    （2）如图5，如果动点P运动至BC的延长线上，试猜想PD，PE，CF的关系，并加以证明.

    師：经过一段时间的思考，谁能展示一下解法呢？

    生1：作PM⊥CF，据题意可知四边形DPMF为矩形，则PD=FM，易证△PMC≌△CEP，所以PE=CM，所以PD+PE=FM+CM=CF. 如图5，作CN⊥DP，相同方法可得PD=PE+CF.

    师：非常好，看来这道题大家没有问题了，我们再看……

    生2：老师，我有不同方法. （若按照预设时间，此时已然不允许“节外生枝”了，但笔者看着生2期待的眼神，决定听一听他的思路）

    师：真的吗？那说一说呢！

    生2：如图6，连接AP，则将△ABC分为△ABP和△ACP. 因为S = AB·PD，S = AC·PE，S = AB·CF，所以 AB·CF= AB·PD+ AC·PE. 又AB=AC，所以CF=PD+PE.

    师：生2这种通过面积法来证明的思路倒是非常新颖且具有创意，很好！

    生3：老师，我也有不同方法. 如图7，连接AP，则将△ABP分为△ABC和△ACP. 因为S = AB·PD，S = AC·PE，S = AB·CF，所以 AB·PD= AB·CF+ AC·PE. 又AB=AC，所以PD=CF+PE.

    ……

    设计说明? 本节课中，生2的回答出乎意料，但是他的思维不仅给笔者带来了教学灵感，也成了其他思维的切入口，顺其思路、顺水推舟，有了更多的创新解法，让学生逐渐能在思维方式和语言表达之间自如地“穿行”，从而增强了课堂的活力，让课堂更加精彩.

    总之，优质高效课堂的建构是一个循序渐进的过程，也是指引教学行为的一种理念. 因此，教师应将建构优质高效数学课堂当作教学的“行动指南”，真正做到尊重学生的学习主体地位，给足学生思考的时间和空间，为学生留好展示的平台，让学生涌现更多的独到见解和创新发现，实现课堂教学的有效性，从而建构高效数学课堂.