按图索骥，追根溯源
桂小兵
摘要：高中阶段平面解析几何教学是教学的一个阶段性难点，在高考中的考查要求也比较高。解析几何的特点是数与形的完美结合，学生可以用代数方法解决几何问题，亦可以将代数问题几何化，其中解题思路的拓展是解题中的重要环节。我们可以通过分析几何元素之间的关系来拓展思路，通过点的产生、点的变化、线的移动等来分析变化过程，帮助学生拓展解题思路。
关键词：平面解析几何? 解题思路拓展? 几何元素? 解题素养
伟大的数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出，在解题活动中，首先分析清楚已知元素和未知元素，并找到已知元素与未知元素之间的关联。当然，有时候二者的关联性并不明显，得不到二者的直接关联。这时，我们需要引入一些辅助元素，或预设一些辅助问题，来沟通这些量之间的联系，从而得到一个求解问题的可行计划。这里的数泛指已知元素，如几何中的点、线等。解析几何解题时，求解计划的拟定是非常重要的，它是思路拓展的最终结果，这也就意味着，已知元素与未知元素的联系分析至关重要。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》亦指出，在平面解析几何教学中，通过指引学生认真作图，分析几何图形特点，分析点的产生、点的变化、线的移动的运动过程，形成解决解析几何问题的思路。当然，在思路形成的过程中，会产生多种想法，要通过运算来看看哪一种想法更便捷。同时，教师在教学现场，可以利用信息技术工具，向学生展示图形中点、线运动关联性，充分体会变化过程中的相互依赖、相互影响，体会参数的变化对整个曲线问题的影响，使学生理解它们之间的联系，并利用这些联系形成解题思路，拓展解题思路。
下面结合三个典型例題谈谈高中平面解析几何解题思路的拓展教学。
一、一线而连，按图索骥
典型例题1：已知抛物线C：x2=-4y，过焦点F作一条斜率不为0的直线l与抛物线C交于两个不同的点，记为M、N。连接OM、ON，直线y=-1分别与直线OM、ON交于A点和B点。
求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。
解题思路拓展分析：
（1）教师利用几何画板软件，在课堂上分析关系并作出图形，从而演示点的产生及相互动态联系。在作图时，要利用几何画板重点演示：直线斜率变化时，首先引起M、N点发生变化，从而引起直线OM、ON随之发生移动变化，最终引起A、B两点发生移动变化，此时以AB为直径的圆自然亦在移动。演示过程要简洁明了，相互影响与变化过程要清晰直观。动点M、N的运动变化受直线的位置影响，这个影响可以用直线MN的斜率k来刻画，改变k的取值，直线MN的位置就会发生变化，M、N两点就会相应的发生移动。
（2）A、B点是由直线OM、ON与y=-1相交得到的，故M、N点移动时，A、B点也会随之变化。反过来说，当k确定时，直线MN确定，M、N两点也确定了，直线OM、ON与y=-1相交的点A、B也就随之确定了。因而运动的根源在于直线MN的相对位置变化，直线MN的位置变化成为线索，且可以用斜率k来刻画。从坐标运算的相互关系来说，点M、N、A、B都与参数k有关，则它们都可以用k来刻画，即可以表达为关于k的表达式。
（3）引导学生利用k表达图形中的基本元素点、线。设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程
lMN：y=kx-1x2=-4y，得x2+4kx-4=0。
所以x1+x2=-4k，x1x2=-4。（M、N点坐标与k的关系）
直线OM：y=-14x1x与y=-1联立得A4x1，-1，同理可得B4x2，-1。
由于动点A、B两点坐标的移动受点M、N运动影响，传递下去，自然与k相关。
下面用圆的直径式方程表达以AB为直径的圆的方程。
x-4x1x-4x2+（y+1）2=0，
化简可得x2-4x1+4x2x+16x1x2+（y+1）2=0，
将x1+x2=-4k，x1x2=-4代入化简，可得x2-4kx-4+（y+1）2=0，
再令x=0，解得y=1或-3，即圆过y轴上的两个定点（0，1）和（0，-3）。
在整个求解过程中，k的变化是整个图形运动变化的起源，顺着这条脉络走下去，结合A、B点的产生过程，用k表达它们的代数关系，思路一线而连，连贯自然。
二、多点串联，寻根探源
典型例题2：设椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F。椭圆右顶点为A，在椭圆上任取一点B（B不为左、右顶点），连接AB，记为l，直线l1垂直于直线l，并交直线l于点M，交y轴于点H。若BF⊥HF，且MO≥MA，求直线l的斜率的取值范围。
解题思路拓展分析：
（1）教学过程中，先让学生作出图形的形状，发现有不少学生无法画出后面的M、H两点及相关直线，同时这也反映了学生没有把握几何图形的特点，没有追根溯源。
（2）利用几何画板给出一种参考作图顺序：作出AB，连接BF，过F作FH⊥FB交y轴于H点，再过H点作HM⊥AB交AB于M。从这个作图顺序中可以看出，当B点确定好以后，BF就确定了，H点就确定了，继续往下，HM也就确定，因为要与AB直线垂直，所以M点确定了。
（3）利用几何画板移动直线位置，B点变化，点H、M也就随之变化，这便是运动的追根溯源，解题过程从图形的运动联系角度来表达就可以了。教师在演示作图时，要强调通过作图顺序发现运动规律，并用动点动态变化展示相互之间的影响。
用直线l的斜率k来表示B点坐标，联立直线AB：y=k（x-2）与椭圆x24+y23=1，消去y，得到方程（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0。
所以A点横坐标与B点横坐标为上述方程的两个根。
2·xB=16k2-123+4k2，
所以xB=8k2-63+4k2，则yB=-12k3+4k2，此时B点坐标用参数k表达。
接着表达直线HF：kBF=-12k4k2-9，则kHF=4k2-912k，
lHF：y=4k2-912k（x-1），所以yH=9-4k212k，
再用k表达直线HM：y-9-4k212k=-1kx，直线l与l1，所以xM=9+20k212k2+12，
要使得MO≥MA，则xM=9+20k212k2+12≥1，解得k≥64或k≤-64。
在对B、H、M三个点的分析串联过程中，k是整个过程中的线索，直线的斜率变化是图形变化的起因。在实际教学时采用几何画板动态演示变化过程，能够进一步加深学生的解题印象。
三、一脉相连，兵分两路
典型例题3：设椭圆C：x24+y23=1，P1，32点为椭圆上一点，M、N为椭圆上异于P点的两个动点，且kPM+kPN=0，连接MN，记MN斜率为k.求证：k=12。
解题思路拓展分析：
（1）教学过程中，首先设计一個绘图展示活动，学生认真审题，利用题干信息，绘制出本题的图像，并清晰地介绍自己的作图思路。在活动过程中，学生之间可以相互交流、分享，培养其作图能力和准确表达信息的能力。
（2）师生亲密合作，教师利用刚刚的作图展示活动结果，并借助几何画板，绘制本题的动态展示课件。作图时，要体现出直线PM与直线PN的对称性，即二者斜率互为相反数。作图时，先作出动点M，利用对称性映射到直线PN，并找到动点N，即最终呈现出的效果是，当M点发生移动时，N点随之发生移动，二者密切联系，且一一对应。此时，教师可以指出引起M点移动的关键，是直线PM的位置，可以用直线PM的斜率k来刻画。当k确定时，M点确定，结合点M、N一一对应性，N点亦确定，最终MN的斜率也就与k相关。这里的辅助元素k便体现了一脉相承。
（3）教师设计活动，兵分两路。引入辅助元素直线PM的斜率k。
一方面，从M点的产生角度，用k来表达M点坐标。直线PM：y-32=k（x-1）与椭圆x24+y23=1联立，得到关于P点、M点坐标的一元二次方程：
（3+4k2）x2+8k32-kx+4k2-12k-3=0，
所以xP·xM=4k2-12k-33+4k2，即xM=4k2-12k-33+4k2，yM=k（xM-1）+32。
另一方面，从运算的类比性角度，用k来表达N点坐标。教师在指出运算的类比性之前，让学生先借助M点的求解过程，表达出N点坐标。学生会经历相同的过程，直线PN：y-32=-k（x-1）与椭圆x24+y23=1联立，得到关于P点、N点坐标的一元二次方程：
（3+4k2）x2-8k32+kx+4k2+12k-3=0，
所以xP·xN=4k2+12k-33+4k2，即xN=4k2+12k-33+4k2，yN=-k（xN-1）+32。
教师利用此时的最佳的时机，介绍运算的类比性，学生恍然大悟，定然会印象深刻。
（4）合二为一，直指目标。整理兵分两路的结果，用k表达MN的斜率：
kMN=yM-yNxM-xN=k（xM+xN-2）xM-xN=k8k2-63+4k2-2-24k3+4k2=12。
教师利用辅助元素k，充分发挥题目的示范作用，在解题活动中，有助于学生形成多维角度的思维沟通和交流。此外，它揭示了解析几何解题的元素关联性，通过解题实际体验，理解代数运算的类比性。
数学解题探索是一件有趣又奇妙的事情。解析几何既有代数运算特征，又有几何图形特征，对数学能力要求较高。在分析动态变化问题时，要学会追根溯源，从开始到结束，对全局变化有一个清楚的认识，逐步形成良好的解题素养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2]G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2017.
