中学数学教学中渗透数学思想方法的实践与思考
刘爽 卢林霞
【内容摘要】中学数学是一门融知识教育、思想教育、能力教育于一体的学科，具备数学思想有利于初中生实现全面发展。因此，只有将数学知识与思想教育相结合，才能学好数学学科，有效提高教学效率和教学水平，这也是初中数学课堂的重点内容。基于此，本文就中学数学教学中渗透数学思想方法开展探究与分析。
【关键词】初中数学? 思想方法? 数形结合? 化归思想? 分类讨论
随着新课程改革的深入，数学素质教育的良性发展离不开数学思想的构建上。从小学数学教育到高等数学教育，每个阶段都有专家学者总结的关于数学思想构建的经验和感悟，数学思想也越来越系统①。初中数学是衔接阶段，数学思想的融入是引导学生将理论联系实际的真正开始，也是培养学生运用数学知识解决实际问题的重要基础。因此，广大教师应重视数学思想的渗透作用，并制定有效的教学策略，以期更好地促进学生形成数学核心素养。
一、数形结合思想的渗透
1.以形化数
初中数学知识在一定程度上具有抽象性和逻辑性，主要是通过数量关系所体现，但学生往往会很难理解数量关系。而图形具有一定的直观性和形象性，教师在开展初中数学教学活动时，可以建立图形与数字的特定结构关系，然后将数量问题转化为图形问题，将代数语言转化为几何语言，从而避免减少复杂的推理或计算，帮助学生深入理解抽象的代数关系②。
例如，在讲解鲁教版七年级数学下册“不等式的解集”一课时，在之前的研究中，学生已经对“不等关系”的相关概念有了初步的了解，教师可以引导学生借助多次试值方法认识到不等式解的无限性，从而引出“解集”的概念。为了让学生更直观的理解不等式的解集，教师可以将数轴融入概念教学中，让学生可以直观地理解不等式解集与方程解的区别。在“一元一次不等式组”的教学中，数轴图形的优势得到了更充分的体现，教师可以根据不等式组中两个不等式的性质，引导学生在数轴上找到这两个不等式的解集，最后结合数轴的直观呈现，学生可以总结出：“x>大数，x>小数，则解集为x>大数;x<大数，x<小数，则解集为x小数，x<大数，则解集为小数<x<大数;x大数，则无解。”为了方便学生记忆，教师传授学生口诀：“同大取大，同小取小，小大大小中間找，小小大大无处找。”通过这种以形化数方法，能够使学生对不等式相关知识点有更直观的认识，并帮助学生形成数形结合思想。
2.以数变形
虽然图形在表达形式上具有直观、生动的优势，能够有效地呈现抽象知识点，但学生在定量计算时还是需要用代数方法表示③。也就是说，单纯的图形通常没有实际意义，尤其是面对一些简单或相对复杂的图形，需要学生挖掘图形中的隐含条件，从观察中得出结论或规律，将几何问题转化为数量问题，通过推导或计算来解读图形的内在含义，所以在代数和图形的组合方式中，学生具有以数变形思想也尤为必要。
例如，在讲解鲁教版七年级数学上册“探索轴对称的性质”一课时，教师可以引导学生借助平分线仪的基本原理，探索用尺子画角平分线的基本方法。然后，教师可以组织学生们进行折纸实践，在操作过程中观察折痕的数量，以对角平分线的性质有大致理解。在学生掌握基本概念和性质后，教师可以让学生思考：“在一张1：200M的地图上，四条公路相交成四个角，如果想建一个物流中心，而且距离每条公路都为300米，那么物流中心应该建在哪里？请在图片中标出具体位置。”根据关于角平分性质的知识，学生应运用以数变形思想独立回答这个问题。
二、化归思想的渗透
1.新旧知识结合，化陌生为熟悉
在初中数学学习过程中，学生经常面临从未见过的数学题，存在无从下手的局面。对此，教师可以采用新旧知识结合的方法，帮助学生构建知识体系，从而增强解题能力④。例如，x2+y2+4x-4y+8=0，求x和y的解。本题有两个未知数，但只有一个方程，大多数学生不知道如何求解。教师可以先把另外两个数学题展示给学生，然后再解决问题。数学题一：x2+4x+4=0，求x的值;数学题二：y2-4y+4=0，求y的值。学生可以通过转化思想在短时间内正确解决这些数学问题。第一个问题是（x+2）2=0，得出x=-2，第二个问题是（y-2）2=0，得出y=2。然后，教师引导学生解答最开始的问题，但是很多学生仍然不能正确回答。在这一点上，教师可以告诉学生：“其实刚才你们解答的两个问题，已经得出了最开始问题的正确答案。”学生觉得不可思议，教师可以给学生展示：x2+y2+4x-4y+8= （x+2）2+（y-2）2=0，其实这就是方程的变形，让学生不费吹灰之力就能得到正确答案。虽然在学习过程中很多新题型学生没有见过，但这些题型都是最基本的知识逐渐演变而来，所以学生应熟练掌握基础知识，逐渐形成划归思想，从而提高知识应用能力。
2.深入分析问题，化复杂为简单
在解决数学问题中经常应用的方法是简单地处理复杂的问题，利用研究和观察，可以把复杂的问题简化为许多简单的问题，这种划分方式学生很容易接受，也很容易逐一进行解决⑤。初中数学教师可以通过这种方式引导学生分析问题，降低问题的难度，使学生可以感受到划归思想，从而培养学生数学思维能力。
例如，在讲解鲁教版八年级数学下册“一元二次方程的解法”时，教师可以先要求学生按照由简单到繁琐的原则学习解题步骤，了解方程变形的目的。一元二次方程具有一定的难度，教师应引导学生想办法把方程转化成一元一次方程，最后变为x=a的形式，也就是方程的解，使复杂的一元二次方程变得简单。这种化复杂为简单的方法大部分学生都能接受，教学效果也非常显著。再比如，在解答：“半径为1的五个圆，它们的圆心依次是A、B、C、D、E。求图中五个圆形成的扇形阴影总面积？”很多学生第一次接触到此类问题，按照常规的解题方法是先算出每个扇形阴影面积，然后相加得出问题答案。这个过程极其复杂和困难，但只要学生深入思考，不难发现既然圆的半径已知，那么学生在确定了扇形圆心角的度数后，就可以根据可以得到答案。
三、分类讨论思想的渗透
1.明确分类讨论对象及分类标准
与数字或公式有關的问题是初中数学中常见的问题，其中绝对值、算术平方根等问题比较简单，分类讨论思想可以应用其中，只需要涉及两三个讨论部分即可得到答案，这种简单的分类讨论适合于知识结构的构建⑥。在渗透分类思想过程中，教师应重点培养学生如何确定分类对象和分类标准，使解题思路更加清晰，避免出现过多的干扰条件。当学生通过简单的问题掌握分类讨论后，当遇到函数、图像、不等式等复杂问题时，可以更好地发现问题中的有用信息，提取分类对象，从而正确回答问题⑦。因此，为了让学生更好地形成分类讨论思想，教师应该注意教学过程的由浅入深，让学生通过通俗易懂的问题掌握分类讨论方法，然后应用到解决复杂问题的过程中。
例如，在讨论x在|x-3|>3和|x|>3中的取值范围时，教师可以引导学生进行分类讨论。在讨论|x|>3的分类时，会发现可以直接得到x>3或x3中x的范围时，则需要完成计算才能得到x>6或x3能够直接得出x的值域，是因为绝对值中只有未知数x，所以x就是分类讨论的对象。但一般情况下，分类的对象是由绝对值决定的，而不是由未知数x决定的，教师应引导学生明确分类讨论对象，为后续探究做好铺垫。
2.强调答案验证的重要性
分类讨论的结果并不都可以作为最终答案，由于问题中的一些限制性条件，从全范围分类讨论中获得的答案不具合理性，而应缩小范围，控制在限制性条件内。学生在实践中做题时，往往忽略不合理或重复的答案，导致解题过程正确，但结果错误⑧。因此，教师在用分类讨论的思想教学生如何解决数学问题时，应强调答案验证的重要性。
例如，在讲解鲁教版七年级数学下册“等腰三角形”一课时，教师可以为学生设计思考些问题：“已知等腰三角形一角为30°，问另外两个角的度数。”因为不确定已知条件“一角为30°”是顶角度数还是底角度数，所以最终答案不具有唯一性，教师应引导学生进行分类讨论，最终学生得到两个结果，即顶角为120°、底角为30°，或顶角为30°、底角为75°。此时，教师将问题进行延伸：“如果已知一个等腰三角形的一角分别为45°、60°、100°时，是否仍然存在两种情况？”并引导学生画图验证答案。最后学生会发现，只有一角为45°时才有两种结果，而当角度为60°时，可以确定等腰三角形的三内角都为60°;当角度为120°时，因为三角形内角和存在180°条件的限制，不能存在两个钝角，所以答案只有一种。
结束语
综上所述，数学思想对初中数学教学和学生的发展有很大的影响，数学思想的渗透不仅积极响应新课程标准倡导的要求，而且为学生未来的发展奠定了基础。因此，初中数学教师要积极更新教学理念，通过渗透数学思想培养学生的数学思维能力，提高学生的综合能力，让学生体会到数学知识的魅力，能够更灵活地应用所学知识。
【注释】
① 孙荣. 在教学中如何渗透初中数学思想和方法[J]. 中学课程辅导（教学研究），2020，14（10）：41.
② 白辉. 数形结合思想在初中数学教学中的渗透[J]. 科学咨询，2020（15）：220.
③ 王小忠. 数形结合思想在初中数学教学中的渗透解析[J]. 学周刊，2020，9（9）：83-84.
④ 文维峰. 初中数学教学中如何渗透数学思想方法研究[J]. 百科论坛电子杂志，2020（1）：427-428.
⑤ 王新艳. 在初中数学教学中应渗透数学思想和数学方法[J]. 百科论坛电子杂志，2020（1）：471-472.
⑥ 王锡凡. 试析化归思想在初中数学教学中的应用[J]. 文理导航·教育研究与实践，2020（3）：142.
⑦ 代显蓉. 初中数学教学中数形结合思想方法的应用探讨[J]. 文理导航·教育研究与实践，2020（2）：176.
⑧ 田丽红. 浅谈初中数学教学中应重视数学思想方法[J]. 百科论坛电子杂志，2020（2）：64.
（作者单位：山东省淄博市张店区实验中学东校）
