模电课程中Widlar微电流源电路教学分析
王浩 李祥振 欧毅
摘 ?要：Widlar微电流源电路是模拟电子技术课程中的基本电路之一，教科书中关于该电路的分析较为简略，文章结合高等数学中泰勒级数和电路分析中节点电压分析方法并通过Matlab工具对于该电路进行了较为详细的理论分析。通过LTspice仿真软件验证了所提分析方法。所提分析方法对于培养学生综合运用已学基本知识并利用Matlab工具分析解决复杂工程问题具有重要意义。
关键词：Widlar微电流源;高等数学;泰勒级数;电路分析;节点电压
中图分类号：G642 ? ? ? 文献标志码：A ? ? ? ? 文章编号：2096-000X（2021）13-0118-05
Abstract： Widlar current source circuit is one of the fundamental circuits in Analog Circuit course. The analysis of this circuit in the text book is brief. More detailed theoretical analysis of this circuit is provided in this paper by utilizing Taylor series in Calculus course and node voltage method in Fundamentals of Circuit Analysis course. The analysis is simulated through Matlab. The proposed method of analyzing Widlar current source circuit is validated through LTspice. This analysis method is instrumental in developing students' skills of analyzing and solving complex engineering problems， using acquired basic expertise knowledge.
Keywords：Widlar current source; Advanced Mathematics; Taylor Series; circuit analysis; node voltage
镜像电流源技术是模拟集成电路中的重要技术，用于提供偏置电流和作为有源负载[1-2]。其中的威尔逊电流源（Wilson Current Mirror）是在泰克（Tektronix）公司[3-4]工作的集成电路设计工程师George R. Wilson在1967年提出的改進型镜像电流源技术，较好地解决了基本镜像电流源的Early电压效应，具有较高的输出电阻。[5]（George R. Wilson和同样在泰克公司的Barrie Gilbert相互挑战，经过一夜的时间找到一种改进的镜像电流源，而且仅含有三个晶体管，最后George R. Wilson赢得了挑战。）
镜像电流源在集成电路中实现较小电流值的电流源时由于需要阻值大的电阻而比较困难。Widlar微电流源（Widlar Current Source）电路[6-7]（如图1所示）是由当时在仙童半导体公司（Fair-child）工作的Robert John Widlar（具有传奇色彩的集成电路设计工程师[8]）在1965年发明的可以在集成电路中以较小的电阻实现电流值较小的电流源，该电流源被应用在Robert John Widlar当时设计的非常成功的？滋A709运算放大器上[9]。微电流源电路可以应用在运算放大器（？滋A709、LM709、？滋A741）、带隙基准电路[10-12]以及甲乙类功率放大电路（用于克服交越失真）中。
Widlar微电流源电路是华科版电子技术课程中的基本电路之一[1]，该电路输出的（微小）电流基本恒定（输出电流值基本不随负载变化而变化），教科书中的分析较为简略，论文结合高等数学基本知识（二元函数的泰勒近
似）和电路基本分析方法（节点电压法）对该电路进行了较为详细的理论仿真分析（即如何求解输出电流）。分析方法有助于培养学生利用已学知识综合分析解决问题的能力，并在分析过程中感受基础知识的重要性。
一、基于三极管射极电流公式的分析方法
根据电路图（图1），可得
（1）
根据三极管的伏安关系，可得
（3）
所以
（4）
根据（4），可得
（5）
结合（2），可得
（6）
等式方程（6）的右边是非线性函数，对于给定的一个初始解I=0.0000001，利用泰勒公式将其转换成线性函数，这样方程（6）近似成一元线性方程，该一元线性方程的解即为方程（6）的一个近似解，通常该近似解比初始解较好。在获得的较好的初始解基础之上，再利用泰勒公式将方程（6）近似转换为一元线性方程，这样又可获得方程（6）的一个近似解。依次类推，可以获得方程（6）不断更新优化的解。图2是上述求解方案的示意图。表1列出的是Matlab仿真计算结果（用Matlab实现上述求解方案）与LTspice仿真软件计算结果之间的偏差。LTspice仿真电路图如图3所示。
二、基于节点电压方程的分析方法
设T1管集电极电位为？淄n1，T2管发射极电位为？淄n2，根据三极管的伏安关系，我们有
（7）
（8）
（9）
根据电路图（图1），我们有
根据电路（图1）图中A点的基尔霍夫电流方程，我们有
根据电路图（图1），我们有
（13）
方程（12）和（13）共含有两个未知变量？淄n1和？淄n2，但由于是非线性方程，无法直接求解。通过二元函数的泰勒近似（将非线性函数f1（？淄n1 ？淄n2）和f2（？淄n1 ？淄n2）近似转换成线性函数），我们可以把非线性方程组转换成线性方程组，通过求解线性方程组获得原有非线性方程的近似解。具体求解方案如下：
对于一给定的初始解（？淄n1* ？淄n2*），令
（14）
（15）
这样，非线性方程（12）和（13）通过二元函数的一阶泰勒近似转换成如下的线性方程组
（16）
设由公式（16）描述的线性方程组的解为（？淄n1（1） ？淄n2（1）），相应的解的误差定义为
依次类推，我们可以获得更新优化后的解
以及相应的解的误差
（19）
式中Ite_max代表最大迭代次数。
表2列出的是Matlab仿真计算结果（用Matlab实现上述求解方案）与LTspice仿真软件计算结果之间的偏差，其中初始值是通过网格搜索获得。图4描述的是不同迭代次数X下的解的误差
三、具体应用例子：甲乙类功率放大电路中克服交越失真
Widlar微电流源电路结构可用于克服互补对称乙类功率放大电路的交越失真，其基本思想是在静态时使得对称输出三极管Q3和Q4处于微导通状态，其LTspice仿真电路图如图5所示。图6描述的是互补对称乙类功率放大电路和甲乙类功率放大电路在负载电阻R5上的输出电流比较（LTspice仿真），可以看出利用Widlar微电流源电路结构的甲乙类功率放大电路可以克服交越失真。
四、结束语
Widlar微电流源电路是模拟电子技术课程中的基本电路，教科书中对于该基本电路的分析较为简略。论文结合高等数学基本知识（泰勒近似）和电路分析基本理论（节点电压法），采用两种分析方法对该基本电路进行理论分析并通过Matlab仿真实现理论分析结果。两种分析方法推导计算输出电流值均不需要负载电阻R3的电阻值（输出电流与负载电阻R3无关）。最后通过LTspice仿真软件验证了理论分析的正确性。所提分析方法对于培养学生综合运用已学基本知识分析解决复杂工程问题具有重要意义。
参考文献：
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[12]涉谷道雄.活學活用LTspice电路设计[M].彭刚，译.北京：科学出版社，2016：302-303.
基金项目：2019年第一批教育部产学合作协同育人项目“模拟电子技术课程中若干经典电路的严格数学基础，Maltlab代码仿真和电路硬件实现比较”（编号：201901057001）
作者简介：王浩（1985-），男，汉族，安徽颍上人，博士，讲师，硕士研究生导师，研究方向：低复杂度滤波器。
