深度研读教材策略之二：再现数学知识的形成过程(3)
王贵平 李竹华
【导读】
“认识面积”是人教版数学三年级下册的内容。该内容是在学生已经掌握了长方形和正方形的特征，并学习了长方形和正方形周长的基础上进行的。小学生从学习长度到学习面积，是从一维到二维的一个跨度，是空间形式认识发展上的一次飞跃。学好这部分内容，有利于发展学生的空间观念，为后续学习其他平面图形的面积和立体图形的体积计算打下基础。来自昆明市盘龙区新迎第二小学的王贵平老师，带领学生经历了面积概念形成的完整学习过程，再现了建构主义在课堂教学中的实际应用。
【案例】
课堂实录：
一、情境导入
师：爸爸假期带明明去海边玩，右边这幅图是他们留下的，你知道哪些是爸爸的脚印，哪些是明明的脚印？
……
（板书：认识面积）
二、初步认识面积
师：什么是面积呢？请看一下黑板的面和课桌的面，哪个面大，哪个面小？
……
师：（拿起数学书）请同学们看老师手中的数学书，谁来摸一摸它的封面。（学生踊跃上台摸摸数学书的封面，也有的同学摸摸自己数学书的封面）
师：数学书封面的大小，就叫作它的面积。谁能像老师这样说说吗？
……
师：你能像这样说说其他物体表面的面积吗？
生1：黑板表面的大小就是黑板表面的面积。
生2：课桌面表面的大小就是课桌面的面积。
……
生3：我知道了，只要有面的物体都有面积，不管是平的面还是弯曲的面。
师：总结得真好，是个爱动脑筋的孩子。所以物体表面的大小就是物体表面的面积。
三、进一步认识面积
师：（课件出示字典封面图和茶叶罐图）说一说老师标记的这个面的面积。
……
师：这两个图形哪个大，哪个小？
……
师：判断一下，这些图形有面积吗？如果有请你说一说它的面积;如果没有，请你说说理由。
……
四、统一面积单位的必要性
（课件出示两个长方形，一大一小）
师：这两个长方形哪一个面积大？
……
师：? ? ? ? ? ? ?再看现在这组长方形呢？
……
师：这样能比较出哪个长方形面积大吗？
生1：不可以，重合在一起，还是都有剩余。
生2：我们小组想到的方法是把它们剩下的部分剪下来，再比较。
师演示：是这样吗？
（学生窃窃私语，可是剪开以后还是有剩余啊，還是没有办法知道哪个大，哪个小？）
师：当然，如果我们像这样一直剪下去，是可以比较出谁的面积大、谁的面积小的，但是……
生3：这样太麻烦了！
……
师：你听懂小精灵的话了吗？如果选择一种图形作单位，这个图形可以是什么形状呢？
生1：我想选择长方形。
生2：我想选择三角形。
生3：我想选择圆形。
生4：我想选择正方形
……
师：老师为每个小组准备了一些学具，四人小组合作完成。
……
师：（课件演示）不管选择哪个图形作单位，都能量出这两个长方形的面积大小。在同学们选择的这些图形中，你认为用哪个图形作单位测量出来的面积最准确，为什么？小组讨论。
生1：我认为用长方形和正方形好，因为它们没有缝隙。其余两种图形都有缝隙。
师：像这样能铺满，并且没有缝隙，我们数学上叫作密铺。
生2：我认为用正方形更好一些，因为它的四条边都一样长，不管怎么摆放都可以。
师：你真是个会思考的孩子，数学家们也和你想到一块啦！因为正方形不仅可以密铺，而且不受摆放位置和方向的限制，所以国际上就是用规定大小的正方形作为面积的单位。
……
五、练习、巩固对面积的认识
1.下面两幅图的面积一样吗？请说明理由。
2.比较每组中的A、B两个图形的面积，你发现了什么？
……
3.分别在两个相同的长方形A、B中挖去5个小正方形，它们剩下的面积是否相等，请说明理由。
……
4.涂色比赛。
师：下面两幅图，老师要涂上颜色，如果让你选，你会选择哪个图形，为什么？
生（齐）：选图形B。
……
师：那只能老师选图形A了，这是图形A、B对应的涂色工具。
生1：我们上当啦，用这个工具肯定是图形A涂的快。
师追问：为什么？
……
六、小结
师：今天你有什么收获？
……
师：在后续知识的学习中，我们也可以像今天这样摸一摸、摆一摆，这样感受才深刻。
【思考】
“认识面积”是“面积”这个单元的“开门课”，对后续学习面积的相关知识起着决定性的作用。面积的本质就是物体表面或平面图形内部包含面积单位个数的多少，是另一种形式的“测量”。但是本节课不涉及标准的面积单位，怎样帮助学生建立完整的面积概念？来自昆明市盘龙区新迎第二小学的王贵平老师，创设生活化的情境，带领学生在动手操作中充分感知，获取鲜明的表象。在此基础上，逐步抽象出“面积”的概念。王老师这节课，真实诠释了本工作室“再现数学知识的形成过程”这一深度研读教材的策略。具体体现在以下四个方面：
1.利用直觉，初步感知。在导入部分通过比较明明和爸爸脚印的大小，让学生初步感受比较的是“面”的大小（包括图形的“边缘”和“内部”），从直觉上感受到了面积和周长是不一样的（周长只是图形的“边缘线”）。这种最粗浅的感知经验，虽然不规范、很浅表，但对于学生进一步深入探索面积的本质来说，是无法跨越的第一步。王老师乘胜追击，介绍了面积的“文本定义”之后，让学生比较数学书封面和侧面的大小，再选择身边物品表面比较大小，把生硬的文字表述转化为可见的触摸感觉，让生硬的文本定义变得触手可及。
2.借助工具，观察比较。在学生对物体表面可以凭直觉判断面积大小之后，王老师把具体的物象逐步剥离，让学生体会到物体表面在数学上其实就是一个封闭的平面（或曲面），这个面的大小就是封闭平面图形的面积。当我们无法用直觉观察和重叠比较来判断两个封闭图形面积大小的时候，该怎么办呢？这时候我们就需要借助工具来进行“精确”的测量。在测量过程中，充分尊重学生的个体差异，允许学生选择自己喜欢的图形作为标准来进行测量。然后在对比中发现：用正方形作为面积测量标准，使用起来最方便。这个教学过程是艰辛的，但学生的学习体验却是快乐的。借助“第三方”进行评判，类似行为在人类社会事务中比较普遍，但小学生未必能够理解。这样的体验活动，有助于学生在今后的认知活动中建立選择事物“标尺”的良好思维习惯。
3.异中求同，切入本质。通过前两个板块的学习，可以说学生已经和“面积”零距离“对接”了。但学生是否真正掌握了面积这一概念，需要让他们“把学到的知识在新的情境中进行辨认、再现和应用”。所以王老师设计了三组变式题，让学生在比较面积大小的过程中，更加深入地理解面积的本质——只与这个图形内部所包含面积“标准”的个数有关，与整个图形的“长相”无关。通过这样的辨析练习，让学生在“异中求同”的思维过程中，对面积概念的本质理解得更加透彻。
4.回归生活，解释应用。“让数学回归生活，用数学知识解决生活中的实际问题，凸显数学的工具实用价值。”这是新课标倡导的课改方向。王老师巧妙设计了一个生活问题：给面积不同的A、B两个图形涂色，你会选择哪一个？为什么？学生在定式思维影响下，都选择了面积比较小的图形B。当老师给出涂色工具之后，学生们都大呼“上当”啦。当老师追问为什么图形A涂起来比较快时，学生一开始是用生活经验来回答“因为刷子比较大”。当老师进一步追问时，学生终于明白了：涂色工具大也就是每一笔涂过的面积更大。这样柳暗花明、峰回路转的变式练习，不仅让学生们兴致盎然，同时也对面积概念的本质理解更加深入了。
“让学生经历知识形成的完整过程”不仅仅是写在课标中的一句话，更要成为一线教师课堂教学中实实在在的行动。
