基于交替投影的MIMO雷达波形设计
贺娅莉+刘玉春+王洪雁
摘 要： 针对基于最大化互信息（或最小均方误差）准则所提方法只得到理论上最优多输入多输出雷达波形，而无法产生可发射波形的问题，基于交替投影方法，提出一种新的可发射波形设计算法。该算法得到的可发射波形渐进逼近基于最大化互信息（或最小均方误差）准则得到的理论最优波形，且迭代的每一步都具有闭式解，因而可获得高效求解。仿真结果表明，相比较已提出的可发射波形设计方法，所提算法具有较好的最优波形逼近性能。
关键词： 多输入多输出雷达； 波形设计； 交替投影； 扩展目标
中图分类号： TN951?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）13?0001?05
Abstract： Since the previously?proposed method based on the criterion of maximum mutual information （MMI） or minimum mean?square error （MMSE） can acquire the theoretical optimum multiple?input and multiple?output （MIMO） radar waveform， but cant generate the transmitting waveform， a new transmitting waveform design algorithm based on alternating projection method is put forward. The transmitting waveform obtained by the proposed algorithm is gradually approximate to the theoretic optimum waveform acquired by means of MMI or MMSE criterion. The closed?form solution existing in each step of iteration can be solved effectively. The simulation results show that， in comparison with the previously?proposed transmitting waveform design method， the algorithm has better performance to approximate the optimal waveform.
Keywords： multiple?input and multiple?output radar； waveform design； alternating projection； extended target
0 引 言
近些年來，越来越多的研究人员对多输入多输出（MIMO）雷达产生了极大兴趣[1?11]。不同于只能发射相干波形的传统相控阵雷达，MIMO雷达可以利用多个发射单元同时发射几乎任意波形，此即所谓的波形分集[1]。基于阵列天线间距，MIMO雷达可分为分置雷达[1]以及共置雷达[2]两类。相较于传统相控阵雷达，MIMO雷达具有许多较为优异的性能，比如，更好的参数辨识性能[3]，灵活的发射波束方向图设计等[4?11]。
由于MIMO雷达相对于相控阵雷达的优势主要来源于波形分集，因而波形设计是MIMO雷达研究领域的热点之一。根据需要优化的目标，现有波形设计方法可以分为以下两类：仅设计发射波形[4?5]；发射波形接收器联合设计[6?11]。前者主要着眼于波束方向图以及模糊函数设计。文献[4]考虑恒模信号设计。文献[5]则考虑了发射波形的空?时?多普勒特性的联合设计问题。而对于后者，文献[6]基于诸如最小化克拉美?罗界（CRLB）迹等准则设计发射波形，此问题亦在杂波场景下寄予了关注[7]。针对扩展目标，文献[8]提出一种基于梯度的波形设计方法，以最大化输出信干噪比（SINR）以改善系统检测性能，而文献[9?11]则基于最大化接收信号与雷达目标特征之间的互信息设计发射波形以改善系统检测性能。
文献[10]证明了基于最大化互信息（MMI）准则与基于最小均方误差（MMSE）准则设计波形本质上是相同的，并得到理论上最优波形，然而此波形由于结构上的原因，实际上无法得到，针对此问题，文献[11]提出基于最大似然（ML）和分离最小二乘（SLS）的波形设计方法逼近理论最优波形，其中ML方法可得到可发射波形协方差矩阵，不可得到实际波形；而SLS方法虽然可得可发射波形，然而由于基于不确定的列正交矩阵，因此，可发射波形不能惟一确定。针对上述问题，本文提出了基于交替投影的波形设计方法。所提方法利用交替投影方法对可发射波形以及列正交矩阵进行交替优化，并保证在迭代过程中渐进逼近理论最优波形。此外，迭代的每一步都具有闭式解，从而可以获得高效求解。
1 问题描述
本文采用文献[10]中的模型，此模型可描述如下：MIMO雷达系统发射、接收阵元个数可分别表示为发射波形离散形式为（为发射持续时间），发射功率为接收数据为接收滤波器长度为。目标为扩展目标，其时域特性可用长度为的FIR表征（设）表示，对于发射阵元，接收阵元FIR滤波器系数为，则接收阵元在时刻的接收信号可表示为：
式（7）确定了基于MMI以及MMSE准则的最优波形的形式，然而可以看到式（7）并不具有式（2）中kronecker积的形式，因而基于式（6）无法得到实际可产生的波形针对此问题，本文提出了基于交替投影的波形设计，以期得到MMI以及MMSE意义下式（7）的最优逼近且可实际产生的波形。
2 基于交替投影的波形设计
由以上讨论可知，要得到MMI以及MMSE意义下式（7）最优逼近且可以实际产生的波形直观的方法就是利用式（2）逼近式（7），在功率约束下，此逼近可表示如下：
由式（11）可知，此问题有两个变量，其中为实际发射波形，具有能量约束，为列正交矩阵，具有结构约束，此类优化问题即距离最近问题[12]。本文采用文献[12]提出的交替投影方法求解优化问题。
基于交替投影方法，此优化问题的求解可表述为：设其中分别为具有能量约束（谱约束）和结构约束（比如列正交）的矩阵，则分别为相应的集合，则对于某一以为变量的目标函数，可以通过下面的步骤来优化目标函数。
Step0：设置初始值（比如中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差为1的复高斯分布，然后再正交化）；也可以先设置的初始值，只要满足式（11）的约束条件（此时，步骤1，2也要调换）；
Step1：固定为最新求解值，求解式（14），得到
Step2：固定为最新求解值，求解式（22），得到
Step3：迭代Step1，Step2，直到满足设定终止条件。在本文的仿真部分，终止条件为式（11）中临近两次迭代目标函数Frobenius范数之差小于设定的值，比如。
交替投影方法步骤比较简单，但此方法一般情况可收敛至局部最优值，在文献[12]中对影响此方法性能的初始值选择问题进行了讨论，并对不同条件下的收敛性进行了详细的分析，具体过程请参考文献[12]。
具体到本文，选用交替投影方法的优势在于：Step1，Step2都可得到闭式解，因此在迭代过程中运算量较少，并且此方法经过较少迭代便可得到最优解。下面来推导步骤1，2的闭式解：
对于步骤1，可基于SLS [13]得到闭式解。固定为最新值，设式（11）可改写为：
则得到步骤2的闭式解。
至此，得到步骤1，2的闭式解。迭代过程中只需计算闭式解，因而计算量较小。
3 仿真结果及分析
3.1 仿真条件
本仿真中，假设目标滤波器系数协方差矩阵具有Toeplitz结构，此假设需要为宽平稳过程，这在长度很长时是成立的。具有Toeplitz结构的矩阵可用对应的循环矩阵近似，又知可用DFT来对角化循环矩阵，因此可得对应近似值，具体过程可参考文献[14]。下面仿真中，都采用此方式获得，的功率谱采样值可随机产生，根据式（7），可得对应功率谱值以及对应的值。
本仿真采用如下MIMO系统：发射阵元个数，接收阵元个数，在下面的仿真中，如果不加特别说明接收滤波器阶数目标阶数发射功率噪声且独立同分布。
对于交替投影方法，首先设置的初始值，中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差為1的复高斯分布，然后再正交化，得到迭代终止阈值为，进行1 000次蒙特卡洛实验。
3.2 仿真结果及分析
下面对基于交替投影得到的波形（即为仿真图中标注The proposed method）与文献[10]中的理论最优波形（即为仿真图中标注Yang method）以及文献[11]中的两种方法（即为仿真图中标注ML method以及SLS method）得到的波形在MMI，MMSE等方面进行比较并分析。
3.2.1 MMI准则下性能比较
接下来考虑文献[11]中的两种方法以及本文提出的方法与文献[10]中的理论最优波形的逼近程度进行比较，此处采用均方根准则刻画此性能，均方根定义如下：
基于最大互信息准则，其中为文献[10]得到的最大互信息，而则为文献[11]及本文所提方法得到的最大互信息。不同方法得到的以及RMSE与以及的关系如图1所示。
从图1可知：首先，四种方法得到的随着或者的增大而增加，这是由于SNR会随着的增大而增大，由此系统就会获知更多目标信息，因而，也随之增大；同理，随着增大，系统目标驻留时间就越长，由此得到目标能量就越大，从而也随之增大。相同条件下，文献[10]中的方法得到的 最大，然而由于这种方法得不到具有kronecker积结构的结果，因而得不到实际发射波形，只能是理论上最优。
再者，文献[11]的ML方法得到的略小于最优值，然而由于ML方法只能得到的协方差矩阵，而不是具体波形。而文献[11]的SLS方法，可得可发射波形。然而可知，相同条件下此方法的最小。而本文提出的基于交替投影的方法，通过交替迭代，以较小计算量代价就可以较好地逼近最优值，且随着或增大，相对于文献[11]的两种方法，本文方法可较快逼近文献[10]的最优值。
3.2.2 MMSE准则下性能比较
与最大互信息准则下类似，首先可得到不同方法所获得的MMSE与以及之间的关系，如图2（a），图2（b）所示。其次，基于MMSE准则，可设式（23）中，其中为文献[10]得到的MMSE，而为其他方法得到的MMSE，则不同方法得到的RMSE与以及之间的关系，如图2（c），图2（d）所示。
由图2可以看到，相同条件下文献[10]所得MMSE性能最好，本文所提方法得到的MMSE次之，文献[11]中的ML方法稍差，SLS方法最差。并且随着或增大，相对于文献[11]所提两种方法，本文所提基于交替投影的波形优化方法在均方根意义上较快逼近理论最优值。
4 结 论
针对基于MMI以及MMSE准则得到的理论最优而实际不可产生波形的问题，基于交替投影，本文提出一种可实际产生波形的迭代设计方法。基于交替迭代方法，在实际波形的功率约束以及正交矩阵的结构约束下，对实际波形以及最优波形中的列正交矩阵同时进行迭代最优化，从而可逐渐逼近理论最优值。需要注意的是，所提方法中，每一步迭代都可表示为闭式解，因而可以高效求解。仿真表明，相对于已存在的可发射波形产生方法，本文所提方法以增加较小的计算复杂度为代价，具有较好的最优逼近性能。
参考文献
[1] TANG B， NAGHSH M M， TANG J. Relative entropy?based waveform design for MIMO radar detection in the presence of clutter and interference [J]. IEEE transactions on signal processing， 2015， 63（14）： 3783?3796.
[2] RADMARD M， CHITGARHA M M， NAZARI MAJD M， el al. Ambiguity function of MIMO radar with widely separated antennas [C]// Proceedings of 2014 IEEE the 15th International Radar Symposium. Gdansk： IEEE， 2014： 1?5.
[3] CHAN F K W， SO H C， HUANG L， el al. Parameter estimation and identifiability in bistatic multiple?input multiple?output radar [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2015， 51（3）： 2047?2056.
[4] CUI G， LI H， RANGASWAMY M. MIMO radar waveform design with constant modulus and similarity constraints [J]. IEEE transactions on signal processing， 2014， 62（2）： 343?353.
[5] CHEN C Y， VAIDYANATHAN P P. MIMO radar ambiguity properties and optimization using frequency?hopping waveforms [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（12）： 5926?5936.
[6] LI J， XU L， STOICA P， et al. Range compression and waveform optimization for MIMO radar： a Cramer?Rao bound based study [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（1）： 218?232.
[7] WANG H， LIAO G， LI J， et al. Waveform optimization for MIMO radar based on Cramer?Rao bound in the presence of clutter [J]. IEICE transactions on communications， 2012， 95（6）： 2087?2094.
[8] FRIEDLANDER B. Waveform design for MIMO radars [J]. IEEE transaction on aerospace and electronic systems， 2007， 43（3）： 1227?1238.
[9] CHEN Y， NIJSURRE Y， YUEN C， el al. Adaptive distributed MIMO radar waveform optimization based on mutual information [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic systems， 2013， 49（2）： 1374?1385.
[10] YANG Y， BLUM R S. MIMO radar waveform design based on mutual information and minimum mean?square error estimation [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic systems， 2007， 43（1）： 330?343.
[11] YANG Y， HE Z， XIA W. Waveform design for MIMO radar using Kronecker structured matrix estimation [C]// Procee?dings of 2008 IEEE the 11th Singapore International Confe?rence on Communication Systems. Guangzhou， China： IEEE， 2008： 431?435.
[12] TROPP J A， DHILLON I S， HEATH R W， et al. Designing structured tight frames via an alternating projection method [J]. IEEE transactions on information theory， 2005， 51（1）： 188?209.
[13] LOAN C F V， PITSIANIS N. Approximation with Kronecker products： linear algebra for large scale and real time applications [M]. New York： Kluwer Publications， 1993.
[14] HAYKIN S. Adaptive filter theory [M]. 4th ed. Upper Saddle River， NJ： Prentice?Hall， 2002.
摘 要： 针对基于最大化互信息（或最小均方误差）准则所提方法只得到理论上最优多输入多输出雷达波形，而无法产生可发射波形的问题，基于交替投影方法，提出一种新的可发射波形设计算法。该算法得到的可发射波形渐进逼近基于最大化互信息（或最小均方误差）准则得到的理论最优波形，且迭代的每一步都具有闭式解，因而可获得高效求解。仿真结果表明，相比较已提出的可发射波形设计方法，所提算法具有较好的最优波形逼近性能。
关键词： 多输入多输出雷达； 波形设计； 交替投影； 扩展目标
中图分类号： TN951?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）13?0001?05
Abstract： Since the previously?proposed method based on the criterion of maximum mutual information （MMI） or minimum mean?square error （MMSE） can acquire the theoretical optimum multiple?input and multiple?output （MIMO） radar waveform， but cant generate the transmitting waveform， a new transmitting waveform design algorithm based on alternating projection method is put forward. The transmitting waveform obtained by the proposed algorithm is gradually approximate to the theoretic optimum waveform acquired by means of MMI or MMSE criterion. The closed?form solution existing in each step of iteration can be solved effectively. The simulation results show that， in comparison with the previously?proposed transmitting waveform design method， the algorithm has better performance to approximate the optimal waveform.
Keywords： multiple?input and multiple?output radar； waveform design； alternating projection； extended target
0 引 言
近些年來，越来越多的研究人员对多输入多输出（MIMO）雷达产生了极大兴趣[1?11]。不同于只能发射相干波形的传统相控阵雷达，MIMO雷达可以利用多个发射单元同时发射几乎任意波形，此即所谓的波形分集[1]。基于阵列天线间距，MIMO雷达可分为分置雷达[1]以及共置雷达[2]两类。相较于传统相控阵雷达，MIMO雷达具有许多较为优异的性能，比如，更好的参数辨识性能[3]，灵活的发射波束方向图设计等[4?11]。
由于MIMO雷达相对于相控阵雷达的优势主要来源于波形分集，因而波形设计是MIMO雷达研究领域的热点之一。根据需要优化的目标，现有波形设计方法可以分为以下两类：仅设计发射波形[4?5]；发射波形接收器联合设计[6?11]。前者主要着眼于波束方向图以及模糊函数设计。文献[4]考虑恒模信号设计。文献[5]则考虑了发射波形的空?时?多普勒特性的联合设计问题。而对于后者，文献[6]基于诸如最小化克拉美?罗界（CRLB）迹等准则设计发射波形，此问题亦在杂波场景下寄予了关注[7]。针对扩展目标，文献[8]提出一种基于梯度的波形设计方法，以最大化输出信干噪比（SINR）以改善系统检测性能，而文献[9?11]则基于最大化接收信号与雷达目标特征之间的互信息设计发射波形以改善系统检测性能。
文献[10]证明了基于最大化互信息（MMI）准则与基于最小均方误差（MMSE）准则设计波形本质上是相同的，并得到理论上最优波形，然而此波形由于结构上的原因，实际上无法得到，针对此问题，文献[11]提出基于最大似然（ML）和分离最小二乘（SLS）的波形设计方法逼近理论最优波形，其中ML方法可得到可发射波形协方差矩阵，不可得到实际波形；而SLS方法虽然可得可发射波形，然而由于基于不确定的列正交矩阵，因此，可发射波形不能惟一确定。针对上述问题，本文提出了基于交替投影的波形设计方法。所提方法利用交替投影方法对可发射波形以及列正交矩阵进行交替优化，并保证在迭代过程中渐进逼近理论最优波形。此外，迭代的每一步都具有闭式解，从而可以获得高效求解。
1 问题描述
本文采用文献[10]中的模型，此模型可描述如下：MIMO雷达系统发射、接收阵元个数可分别表示为发射波形离散形式为（为发射持续时间），发射功率为接收数据为接收滤波器长度为。目标为扩展目标，其时域特性可用长度为的FIR表征（设）表示，对于发射阵元，接收阵元FIR滤波器系数为，则接收阵元在时刻的接收信号可表示为：
式（7）确定了基于MMI以及MMSE准则的最优波形的形式，然而可以看到式（7）并不具有式（2）中kronecker积的形式，因而基于式（6）无法得到实际可产生的波形针对此问题，本文提出了基于交替投影的波形设计，以期得到MMI以及MMSE意义下式（7）的最优逼近且可实际产生的波形。
2 基于交替投影的波形设计
由以上讨论可知，要得到MMI以及MMSE意义下式（7）最优逼近且可以实际产生的波形直观的方法就是利用式（2）逼近式（7），在功率约束下，此逼近可表示如下：
由式（11）可知，此问题有两个变量，其中为实际发射波形，具有能量约束，为列正交矩阵，具有结构约束，此类优化问题即距离最近问题[12]。本文采用文献[12]提出的交替投影方法求解优化问题。
基于交替投影方法，此优化问题的求解可表述为：设其中分别为具有能量约束（谱约束）和结构约束（比如列正交）的矩阵，则分别为相应的集合，则对于某一以为变量的目标函数，可以通过下面的步骤来优化目标函数。
Step0：设置初始值（比如中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差为1的复高斯分布，然后再正交化）；也可以先设置的初始值，只要满足式（11）的约束条件（此时，步骤1，2也要调换）；
Step1：固定为最新求解值，求解式（14），得到
Step2：固定为最新求解值，求解式（22），得到
Step3：迭代Step1，Step2，直到满足设定终止条件。在本文的仿真部分，终止条件为式（11）中临近两次迭代目标函数Frobenius范数之差小于设定的值，比如。
交替投影方法步骤比较简单，但此方法一般情况可收敛至局部最优值，在文献[12]中对影响此方法性能的初始值选择问题进行了讨论，并对不同条件下的收敛性进行了详细的分析，具体过程请参考文献[12]。
具体到本文，选用交替投影方法的优势在于：Step1，Step2都可得到闭式解，因此在迭代过程中运算量较少，并且此方法经过较少迭代便可得到最优解。下面来推导步骤1，2的闭式解：
对于步骤1，可基于SLS [13]得到闭式解。固定为最新值，设式（11）可改写为：
则得到步骤2的闭式解。
至此，得到步骤1，2的闭式解。迭代过程中只需计算闭式解，因而计算量较小。
3 仿真结果及分析
3.1 仿真条件
本仿真中，假设目标滤波器系数协方差矩阵具有Toeplitz结构，此假设需要为宽平稳过程，这在长度很长时是成立的。具有Toeplitz结构的矩阵可用对应的循环矩阵近似，又知可用DFT来对角化循环矩阵，因此可得对应近似值，具体过程可参考文献[14]。下面仿真中，都采用此方式获得，的功率谱采样值可随机产生，根据式（7），可得对应功率谱值以及对应的值。
本仿真采用如下MIMO系统：发射阵元个数，接收阵元个数，在下面的仿真中，如果不加特别说明接收滤波器阶数目标阶数发射功率噪声且独立同分布。
对于交替投影方法，首先设置的初始值，中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差為1的复高斯分布，然后再正交化，得到迭代终止阈值为，进行1 000次蒙特卡洛实验。
3.2 仿真结果及分析
下面对基于交替投影得到的波形（即为仿真图中标注The proposed method）与文献[10]中的理论最优波形（即为仿真图中标注Yang method）以及文献[11]中的两种方法（即为仿真图中标注ML method以及SLS method）得到的波形在MMI，MMSE等方面进行比较并分析。
3.2.1 MMI准则下性能比较
接下来考虑文献[11]中的两种方法以及本文提出的方法与文献[10]中的理论最优波形的逼近程度进行比较，此处采用均方根准则刻画此性能，均方根定义如下：
基于最大互信息准则，其中为文献[10]得到的最大互信息，而则为文献[11]及本文所提方法得到的最大互信息。不同方法得到的以及RMSE与以及的关系如图1所示。
从图1可知：首先，四种方法得到的随着或者的增大而增加，这是由于SNR会随着的增大而增大，由此系统就会获知更多目标信息，因而，也随之增大；同理，随着增大，系统目标驻留时间就越长，由此得到目标能量就越大，从而也随之增大。相同条件下，文献[10]中的方法得到的 最大，然而由于这种方法得不到具有kronecker积结构的结果，因而得不到实际发射波形，只能是理论上最优。
再者，文献[11]的ML方法得到的略小于最优值，然而由于ML方法只能得到的协方差矩阵，而不是具体波形。而文献[11]的SLS方法，可得可发射波形。然而可知，相同条件下此方法的最小。而本文提出的基于交替投影的方法，通过交替迭代，以较小计算量代价就可以较好地逼近最优值，且随着或增大，相对于文献[11]的两种方法，本文方法可较快逼近文献[10]的最优值。
3.2.2 MMSE准则下性能比较
与最大互信息准则下类似，首先可得到不同方法所获得的MMSE与以及之间的关系，如图2（a），图2（b）所示。其次，基于MMSE准则，可设式（23）中，其中为文献[10]得到的MMSE，而为其他方法得到的MMSE，则不同方法得到的RMSE与以及之间的关系，如图2（c），图2（d）所示。
由图2可以看到，相同条件下文献[10]所得MMSE性能最好，本文所提方法得到的MMSE次之，文献[11]中的ML方法稍差，SLS方法最差。并且随着或增大，相对于文献[11]所提两种方法，本文所提基于交替投影的波形优化方法在均方根意义上较快逼近理论最优值。
4 结 论
针对基于MMI以及MMSE准则得到的理论最优而实际不可产生波形的问题，基于交替投影，本文提出一种可实际产生波形的迭代设计方法。基于交替迭代方法，在实际波形的功率约束以及正交矩阵的结构约束下，对实际波形以及最优波形中的列正交矩阵同时进行迭代最优化，从而可逐渐逼近理论最优值。需要注意的是，所提方法中，每一步迭代都可表示为闭式解，因而可以高效求解。仿真表明，相对于已存在的可发射波形产生方法，本文所提方法以增加较小的计算复杂度为代价，具有较好的最优逼近性能。
参考文献
[1] TANG B， NAGHSH M M， TANG J. Relative entropy?based waveform design for MIMO radar detection in the presence of clutter and interference [J]. IEEE transactions on signal processing， 2015， 63（14）： 3783?3796.
[2] RADMARD M， CHITGARHA M M， NAZARI MAJD M， el al. Ambiguity function of MIMO radar with widely separated antennas [C]// Proceedings of 2014 IEEE the 15th International Radar Symposium. Gdansk： IEEE， 2014： 1?5.
[3] CHAN F K W， SO H C， HUANG L， el al. Parameter estimation and identifiability in bistatic multiple?input multiple?output radar [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2015， 51（3）： 2047?2056.
[4] CUI G， LI H， RANGASWAMY M. MIMO radar waveform design with constant modulus and similarity constraints [J]. IEEE transactions on signal processing， 2014， 62（2）： 343?353.
[5] CHEN C Y， VAIDYANATHAN P P. MIMO radar ambiguity properties and optimization using frequency?hopping waveforms [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（12）： 5926?5936.
[6] LI J， XU L， STOICA P， et al. Range compression and waveform optimization for MIMO radar： a Cramer?Rao bound based study [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（1）： 218?232.
[7] WANG H， LIAO G， LI J， et al. Waveform optimization for MIMO radar based on Cramer?Rao bound in the presence of clutter [J]. IEICE transactions on communications， 2012， 95（6）： 2087?2094.
[8] FRIEDLANDER B. Waveform design for MIMO radars [J]. IEEE transaction on aerospace and electronic systems， 2007， 43（3）： 1227?1238.
[9] CHEN Y， NIJSURRE Y， YUEN C， el al. Adaptive distributed MIMO radar waveform optimization based on mutual information [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic systems， 2013， 49（2）： 1374?1385.
[10] YANG Y， BLUM R S. MIMO radar waveform design based on mutual information and minimum mean?square error estimation [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic systems， 2007， 43（1）： 330?343.
[11] YANG Y， HE Z， XIA W. Waveform design for MIMO radar using Kronecker structured matrix estimation [C]// Procee?dings of 2008 IEEE the 11th Singapore International Confe?rence on Communication Systems. Guangzhou， China： IEEE， 2008： 431?435.
[12] TROPP J A， DHILLON I S， HEATH R W， et al. Designing structured tight frames via an alternating projection method [J]. IEEE transactions on information theory， 2005， 51（1）： 188?209.
[13] LOAN C F V， PITSIANIS N. Approximation with Kronecker products： linear algebra for large scale and real time applications [M]. New York： Kluwer Publications， 1993.
[14] HAYKIN S. Adaptive filter theory [M]. 4th ed. Upper Saddle River， NJ： Prentice?Hall， 2002.
